On-line učionica

11. mart 2012.

Rešavanje trigonometrijskih jednačina I deo

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 2:01 pm

Do sada smo se sretali sa trigonometrijskim funkcijama predstavljenim na različite načine: odnos stranica pravouglog trougla, koordinate tačaka na jediničnom krugu i kao apstraktne funkcije sa graficima. Sada je došao trenutak da iskoristimo osobine trigonometrijskih funkcija da bismo spoznali kakve veze postoje među njima samima. Pravila koja ilustruju ove veze se mogu koristiti za uprošćavanje trigonometrijskih izraza i rešavanje trigonometrijskih jednačina.

Uprošćavanje trigonometrijskih izraza

Primer 1: Uprostite sledeći izraz koristeći osnovne trigonometrijske identitete:

Rešenje:

Primer 2: Uprostite sledeći izraz koristeći osnovne trigonometrijske identitete:

Rešenje:

Primer 3: Uprostite sledeći izraz koristeći osnovne trigonometrijske identitete:

Rešenje:

U prethodnim primerima, dati izrazi su uprošćeni primenom osnovnih trigonometrijskih identiteta. Možemo takođe primeniti osnovne identitete na rešavanje trigonometrijskih jednačina po x. Kada rešavamo trigonometrijske jednačine, često su nam dati intervali za x, da ne bismo imali beskonačno mnogo mogućih rešenja (zbog periodičnosti trigonometrijskih funkcija).

Rešavanje trigonometrijskih jednačina

Primer 4: Bez korišćenja digitrona, nađite sva rešenja tg2x = 3, takva da je 0 < x < 2π.

Rešenje:

Sada ćemo pogledati rešenja na jediničnom krugu:

Kao što se vidi sa slike, imamo četiri rešenja:

Primer 5: Rešite 2 cos x sin x – cos x = 0 za sve vrednosti x između 0 i .

Rešenje:

Ponovo ćemo pogledati rešenja na jediničnom krugu:

Sa slike čitamo četiri rešenja:

U prethodnim primerima, dobili smo tačne vrednosti rešenja jednačina. Ova rešenja su pripadala naznačenom domenu.

Primer 6: Rešite 2 sin2x – cos x – 1 = 0 za sve vrednosti x.

Rešenje:

Ponovo ćemo pogledati rešenja na jediničnom krugu:

Sa slike čitamo tri rešenja:

Međutim, pošto se u zadatku traže rešenja za sve vrednosti x, a ne na nekom segmentu, pogledaćemo dobijena rešenja pažljivije. Možemo videti da je razlika između svaka dva susedna rešenja tačno 2π/3, pa imamo beskonačno mnogo rešenja oblika:

4 komentara »

  1. Ne znam da li se ovo učilo u gimnaziji sedamdesetih godina na društvenom smeru? Ako jeste, „verovatno nisam bila na časovima“, pošto mi je sve „špansko selo“. Znam da matematiku treba razumeti i sećam se kako mi je jedanput, u istoj toj gimnaziji, jedan drugar satima objašnjavao funkcije, dok nisam progledala i ukapirala ih. Bila sam srećna kao majmunče!🙂

    Komentar od dudaelixir — 3. jul 2012. @ 10:43 pm | Odgovor

  2. Poštovana,
    Svaka čast za vreme i trud. Kapa dole!

    Međutim ne kaže se „digitron“ već kalkulator, „Digitron“ je fabrika kalkulatora iz Buja, tada, u vreme o kome govorite kada kažete „tada su me planirali“😉 , prva u Evropi koja je počela proizvodnju kalkulatora. http://www.digitron.hr Nadam se da ćete moju primedbu shvatiti dobronamerno.

    Ihyr

    Komentar od Bogdan — 27. decembar 2015. @ 8:23 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: