On-line učionica

9. mart 2012.

Operacije sa funkcijama

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 9:26 am

U prethodnih nekoliko lekcija smo proučavali osobine grafika različitih familija funkcija. U ovoj lekciji ćemo raditi sa algebarskim oblikom funkcija. Baš kao što vršimo operacije sa brojevima, tako možemo vršiti operacije sa funkcijama. Radićemo sa osnovnim operacijama – sabiranjem, oduzimanjem, množenjem i deljenjem – kao i sa vrstom operacije koja se zove “kompozicija” koja kombinuje dve funkcije na određeni način. Počećemo sa sabiranjem i oduzimanjem funkcija.

Zbir i razlika funkcija

Često je potrebno da radimo sa funkcijama koje predstavljaju različite situacije. Jedna takva funkcija predstavlja površinu kutije čija je osnova kvadrat stranice x. Uzećemo da je visina H konstantna kao i zapremina V = 12.

Da bi izrazili površinu kutije kao funkciju od x, počećemo od jednačine P = 4xH + 2x2. Pošto je V = x2H = 12, imamo da je

zbog čega je

Primetite kako se jednačina sastoji od dva dela. Prvi deo, 48/x, dolazi od prvog dela originalne jednačine, 4xH. Ovaj deo predstavlja površinu četiri bočne strane kutije. Drugi deo jednačine, 2x2, predstavlja površinu poklopca i dna kutije. Zato možemo posmatrati funkciju P(x) kao zbir druge dve funkcije: M(x) = 48/x i B(x) = 2x2.

Postoje dve stvari koje moramo istaći ovde: prvo, možemo sabirati funkcije, a drugo, rezultujuća funkcija može biti potpuno drugačija funkcija od dve originalne.

Zbir ili razlika funkcija će imati veće šanse da liči na polazne dve funkcije ako su obe iz iste familije. Na primer, ako je f(x) = 3x + 1 i g(x) = 4x – 5, onda je f + g = f(x) + g(x) = 3x + 1 + 4x – 5 = 7x – 4. Dakle i zbir funkcija je takođe član familije linearnih funkcija.

Primer 1: Ako je f(x) = x3 + 2x2 i g(x) = x2 – 5, koliko je f g?

Rešenje: Razlika je: f – g = x3 + 2x2 – (x2 – 5) = x3 + 2x2 – x2 + 5 = x3 + x2 + 5

U opštem slučaju, kada sabiramo ili oduzimamo funkcije, rezultujući zbir ili razlika funkcija može biti iz iste familije kao jedna ili obe originalne funkcije, ili može biti funkcija neke druge vrste. Dalje ćemo množiti i deliti funkcije, što su operacije koje će rezultovati funkcijama druge vrste.

Proizvod i količnik funkcija

Razmotrimo funkcije f(x) = 2x2 i g(x) = x + 1. Ako pomnožimo ove funkcije, dobićemo novu funkciju: f · g = f(x) · g(x) = h(x) = 2x2(x + 1) = 2x3 + 2x2. Proizvod h(x) je kubna fukcija. Ako pomnožimo proizvoljnu linearnu funkciju kvadratnom, rezultujući proizvod funkcija će biti kubna funkcija. Međutim, ako ih podelimo, količnik će biti član familije racionalnih funkcija.

Primer 2: Ako su date f(x) = 2x2 i g(x) = x + 1, nađite r(x) = f(x)/g(x) i t(x) = g(x)/f(x).

Rešenje: r(x) = f(x)/g(x) = 2x2/(x + 1). Ovo je racionalna funkcija.

t(x) = g(x)/f(x) = (x + 1)/2x2. Ovo je takođe racionalna funkcija.

U opštem slučaju, ako pomnožimo linearnu funkciju i polinom, dobićemo drugi polinom. Ako podelimo ovakve funkcije, dobićemo drugačije polinome, ili racionalne funkcije. Ako množimo i delimo druge vrste funkcija, rezultujuća funkcija može biti komplikovanija. Na primer, razmotrite funkcije f(x) = |x| i g(x) = x2 – 4.

Sada razmotrite funkciju f(x) · g(x) = |x|(x2 – 4) = |x|x24|x| = |x3| – 4|x|.

Ono što treba ovde istaći je činjenica da množenje i deljenje funkcija može rezultovati veoma različitim funkcijama koje bi bilo teško nacrtati bez još nekih znanja kojima ćemo se baviti ove godine!

1 komentar »

  1. […] Operacije sa funkcijama […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 12. septembar 2015. @ 9:38 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: