On-line učionica

3. mart 2012.

Dokazivanje trigonometrijskih identiteta

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 8:56 pm

Do kraja ove oblasti, sretaćete se sa složenim trigonometrijskim izrazima. Često, složeni trigonometrijski izrazi mogu biti ekvivalentni manje složenim izrazima. Proces pokazivanja da su dva trigonometrijska izraza ekvivalentna (bez obzira na vrednost ugla) se naziva dokazivanje trigonometrijskih identiteta.

Postoji nekoliko smerova razmišljanja koje koristimo kada dokazujemo trigonometrijski identitet.

Često je jedan od koraka pri dokazivanju identiteta promena svakog izraza u sinus i kosinus:

Primer 1: Dokažite identitet: cosec x · tg x = sec x.

Rešenje: Sređivaćemo levu stranu.

Na kraju smo došli do iste stvari kao na desnoj strani, pa znamo da je identitet tačan.

Kada radimo sa identitetima, za razliku od jednačina, zamenjivanja i matematičke operacije se izvode samo na jednoj strani identiteta. Misaoni proces za utvrđivanje identiteta ide u pravcu posmatranja obe strane jednakosti, a cilj je da pokažemo da se obe strane mogu transformisati u onu drugu.

Koristite sve raspoložive poznate trigonometrijske identitete.

Primer 2: Dokažite identitet: (1 – cos2 x)(1 + ctg2 x) = 1.

Rešenje: Koristite osnovni trigonometriski identitet i njegov alternativni oblik. Iz sin2 x + cos2 x = 1 imamo da je sin2 x = 1 – cos2 x. Takođe zamenite ctg2 x, a onda pomnožite i skratite.

Kada radite sa identitetima u kojima se pojavljuju razlomci – kombinujte znanje algebarskih transformacija da biste sabrali razlomke:

Primer 3: Dokažite identitet:

Rešenje: Saberite dva razlomka na levoj strani jednakosti nalaženjem zajedničkog imenioca: (1 + cos x) · sin x, a onda izvršite sabiranje.

Sada ćemo morati da primenimo još jednu algebarsku tehniku, kvadrat binoma. Uvek ostavljamo imenilac u faktorisanom obliku, jer je verovatno da ćete moći nešto da skratite na kraju.

Koristeći prethodni način razmišljanja, zamenite sin2 x + cos2 x = 1 i uprostite.

Ako je moguće, faktorišite trigonometrijske izraze. U stvari ovo smo već koristili u prethodnom primeru kada smo 2 + 2 cos x napisali kao 2(1 + cos x), pa su se u ovoj situaciji, faktori skratili.

Primer 4: Dokažite identitet:

Rešenje: Ovde iskoristite vezu kotangensa i tangensa – ctg x = 1 / tgx.

odnosno

Sada rešite dvojni razlomak i skratite.

Da zaključimo, kada dokazujete trigonometrijski identitet, koristite sledeće ideje:

  1. Počnite od komplikovanije strane jednakosti.
  2. Pokušajte da sve pretvorite u jednu trigonometrijsku funkciju, ako to nije moguće, pretvorite sve u sinus i kosinus.
  3. Ako se pojave razlomci, algebarski ih sračunajte.
  4. Skratite sve što je moguće skratiti, ako je potrebno, faktorišite.
  5. Cilj je da učinite da jedna strana bude identična drugoj – zato dok radite na jednoj strani jednakosti, bacite pogled na drugu stranu da bi dobili ideju šta je sledeći korak. Ako se zaglavite, pokušajte da nešto uradite i sa drugom stranom. To će Vam pomoći, jer su operacije suprotne.

4 komentara »

  1. Trigonometrija!
    Kako to nedostaje mojim učenicima! Čast izuzecima.
    Podstrek za ovu temu – kategoriju. Preporučujem sve ove članke učenicima kojima predajem! Samo napred!

    Komentar od MileticJ — 3. mart 2012. @ 9:07 pm | Odgovor

  2. Придружујем се честиткама, чланци су одлични! Свака част!

    Komentar od Синиша Бубоња — 4. mart 2012. @ 4:46 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: