On-line učionica

25. februar 2012.

Simetrično preslikavanje grafika u odnosu na ose

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 11:08 pm

Setite se iz prethodne lekcije kako se vertikalna skupljanja ili horizontalna širenja dobijaju kada je koeficijent broj između 0 i 1. Sada ćemo razotriti efekte koeficijenata manjih od 0.

Razmotrimo grafike funkcija y = x2 i y = –x2, prikazanih ispod.

Grafik y = –x2 predstavlja simetričnu sliku y = x2, u odnosu na x-osu. To jest, svaka vrednost funkcije y = –x2 je negativna vrednost funkcije y = x2. Uopšte, g(x) = –f(x) ima grafik koji se dobija kada se grafik f(x), simetrično preslika u odnosu na x-osu.

Primer 1: Nacrtajte grafike y = x3 i y = -x3 u istom koordinatnom sistemu.

Rešenje:

Na prvi pogled grafici izgledaju kao dve parabole. Ako crtate u dve boje, možete videti da je grafik y = –x3 u stvari simetrična slika y = x3 u odnosu na x-osu.

Međutim, ako još bolje pogledate grafike, možete videti i simetriju u odnosu na y-osu. Ovo je tako jer da bi dobili simetričnu sliku u odnosu na y-osu, dodajemo minus na x. To jest, h(x) = f(-x) je simtrična slika f(x) u odnosu na y-osu. Za funkciju y = x3, h(x) = (-x)3 = (-x) · (-x) · (-x) = –x3. Ovo je ista funkcija kao ona koju smo već nacrtali.

Važno je napomenuti da je ovo specijalan slučaj. Grafik y = x2 je takođe specijalan slučaj. Ako želimo da simetrično preslikamo y = x2 u odnosu na y-osu, jednostavno ćemo dobiti isti grafik! Ovo se može objasniti algebarski: y = (-x)2 = (-x) · (-x) = x2.

Hajde da sada razmtrimo drugačiju funkciju.

Primer 2: Nacrtajte funkcije y = √x i y = √(-x).

Rešenje: Jednačina y = √(−x) može delovati zbunjujuće jer je -x pod korenom. Važno je zapamtiti da -x znači suprotno od x. Zato je domen ove funkcije ograničen na vrednosti manje od 0. Na primer, za x = -4 imamo:

Domen je taj, koji sadrži sve realne brojeve koji nisu u domenu y = √x sem nule, koji nam daje grafik simetričan u odnosu na y-osu.

Uopšte, grafik predstavlja simetričnu sliku u odnosu na x-osu ako se funkciji doda minus (npr. ako označimo y = f(x), dodajemo minus na y). Grafik predstavlja simetričnu sliku u odnosu na y-osu ako se promenljivoj x doda minus. Sada kada smo razmotrili pomeranja, širenja/skupljanja i simetrične slike, pogledaćemo grafike koji kombinuju ove transformacije.

Kombinovanje transformacija funkcije

Razmotrimo jednačinu y = 2(x – 3)2 + 1. Možemo uporediti grafik ove funkcije sa grafikom njoj osnovne funkcije y = x2: grafik predstavlja vertikalno širenje 2 puta, pomeranje udesno za 3 i pomeranje nagore za 1.

Ovo poređenje možemo iskoristiti da bi nacrtali grafik y = 2(x – 3)2 + 1.

Malo je komplikovanije crtati grafike kada se pojave simetrična preslikavanja grafika. U nastavku ćemo proučavati simetrije grafika u kombinaciji sa drugim transformacijama.

Primer 3: Nacrtati grafik funkcije f(x) = -|x| + 3.

Rešenje: Osnovni grafik ove funkcije je grafik y = |x|, peslikan preko x-ose i pomeren nagore za 3. Pitanje je: koju transformaciju ćemo prvo primeniti?

Odgovor na ovo pitanje možemo dobiti ako se zapitamo kojim redosledom vršimo operacije. Da bi našli bilo koju vrednost funkcije uzimamo vrednost x, nalazimo njenu apsolutnu vrednost, nalazimo negativnu tu vrednost i onda dodajemo 3. Ovo je isto kao redosled transformacija: simetrično preslikavanje dolazi pre pomeranja nagore.

Primer 4: Nacrtati grafik funkcije f(x) = |-x + 3|.

Rešenje: Ova funkcija predstavlja grafik y = |x|, peslikan preko y-ose i pomeren ulevo za 3.

Pre crtanja, probaćemo da objasnimo redosled transformacija… Da vidimo prvo redosled operacija. Da bi našli vrednost, uzimamo vrednost x, nalazimo negativnu vrednost, pa dodajemo 3 i na kraju tražimo apsolutnu vrednost. Redosled transformacija će sada biti suprotan u odnosu na prethodni primer, ali i nije tako ako se setimo da počinjemo crtanje od apsolutne vrednosti. Dakle, gledano s te strane, prvo ćemo pomeriti grafik ulevo za 3, a onda ga preslikati u odnosu na x-osu.

Ovaj grafik je isti kao grafik funkcije y = |x – 3|. Ovo je tačno jer je y = |-x + 3| = |-(x – 3)|, pa je zbog |-a| = |a| za sve a, onda |-(x – 3)| = |x – 3|. Dakle originalna funkcija je jednaka |x – 3|. Sada možemo proveriti logiku, jer je ovaj grafik prosto pomeranje grafika y = |x| udesno za 3.

1 komentar »

  1. […] Grafici funkcija 1 2 3 […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 12. septembar 2015. @ 9:38 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: