On-line učionica

21. februar 2012.

Neki poznati izvodi

Filed under: Matematika,Uvod u analizu — jelena100janovic @ 4:44 pm

Do sada smo računali izvode koristeći definiciju. U ovoj lekciji ćemo izvesti formule i teoreme koje će nam pomoći da računamo izvode efikasnije i brže. Preporučujem da jako dobro uvežbate sve ove postupke.

Izvod konstante

Ako je f(x) = c gde je c konstanta, onda je

f(x) = 0

Drugim rečima, izvod ili koeficijent pravca (nagib) proizvoljne konstantne funkcije je nula.

Primer 1: Naći izvod funkcije f(x) = 16.

Rešenjef′(x) = 0

Izvod stepene funkcije

Ako je n realan broj i f(x) = xn, onda je

f'(x) = nxn-1

Primer 2: Naći izvod funkcije f(x) = x3.

Rešenje: f'(x) = 3x3-1 = 3x2

Primer 3: Naći izvod funkcije f(x) = x.

Rešenje: f(x) = x = x1, pa je f'(x) = 1x1-1 = x0 = 1

Primer 4: Naći izvod funkcije f(x) = 1/x.

Rešenje: f(x) = 1/x = x-1, pa je f'(x) = -1x-1-1 = -x-2 = -1/x2

Primer 5: Naći izvod funkcije f(x) = √x.

Rešenje: f(x) = √x = x½, pa je f'(x) = ½x½-1 = ½x = 1/(2√x)

Izvod proizvoda konstante i funkcije

Ako je c konstanta i f ima izvod, onda i cf ima izvod i važi

(cf)’ = cf’

Rečima, izvod od konstante puta funkcija je jednak konstanta puta izvod funkcije.

Primer 6: Naći izvod funkcije f(x) = 4x3.

Rešenje: f'(x) = 4 · 3x2 = 12x2

Primer 7: Naći izvod funkcije f(x) = -2/x4.

Rešenje: f(x) = -2/x4 = -2x-4, pa je f'(x) = -2 · (-4)x-5 = 8x-5

Izvodi zbira i razlike funkcija

Ako f i g imaju izvod, onda i f ± g ima izvod i važi

(f ± g)’ = f’ ± g’

Primer 8: Naći izvod funkcije f(x) = 3x2 + 2x.

Rešenje: f'(x) = 6x + 2

Primer 9: Naći izvod funkcije f(x) = x3 – 5x2.

Rešenje: f'(x) = 3x2 – 10x

Izvod proizvoda funkcija

Ako f i g imaju izvod, onda i f · g ima izvod i važi

(f · g) = f · g + g · f’

Izvod proizvoda dve funkcije je jednak prva funkcija puta izvod druge plus druga funkcija puta izvod prve.

Zapamtite da

(f · g)’  f’ · g’

Primer 10: Nađite izvod funkcije y = (3x4 + 2)(7x3 – 1).

Rešenje: Postoje dva načina da se reši ovaj zadatak. Prvi je da izmnožimo zagrade i onda koristimo formule za izvod zbira i razlike funkcija. Drugi je da odmah primenimo formulu za izvod proizvoda funkcija. Kako god radili, dobićemo isti rezultat. Počećemo od formule za izvod zbira.

y = (3x4 + 2)(7x3 – 1) = 21x7 – 3x4 + 14x3 – 2

Nalaženjem izvoda dobijamo

y’ = 147x6 – 12x3 + 42x2 + 0 = 147x6 – 12x3 + 42x2

Sada ćemo upotrebiti formulu za izvod proizvoda,

y’ = (3x4 + 2) · (7x3 – 1)’ + (3x4 + 2)’ · (7x3 – 1) = (3x4 + 2)(21x2) + (12x3)(7x3 – 1) = 63x6 + 42x2 + 84x6 – 12x3 = 147x6 – 12x3 + 42x2

što je isto rešenje.

Izvod količnika funkcija

Ako f i g imaju izvod i g(x) ≠ o, onda i f / g ima izvod i važi

Izvod količnika dve funkcije je jednak izvod gornje puta donja minus izvod donje puta gornja, pa sve kroz kvadrat donje.

Zapamtite da je redosled operacija bitan (jer u brojiocu imamo minus) i

Primer 11: Nađite izvod funkcije

Rešenje:

Primer 12: U kojim tačkama je tangenta horizontalna za krivu

Rešenje: Pošto je koeficijent pravca horizontalne prave nula i pošto je izvod funkcije u stvari koeficijent pravca tangente, onda će nam nalaženje izvoda i izjednačavanje sa nulom pomoći da nađemo tačke u kojima je koeficijent pravca tangente jednak nuli, tj. tačke u kojima je tangenta horizontalna.

Količnik je nula, ako je brojilac nula. Rešavajući po x, imamo:

9 – x2 = 0

x2 = 9

x = ±3

Dakle tangenta je horizontalna u x = -3 i x = +3.

Izvodi višeg reda

Ako izvod f’ funkcije f ima izvod, onda se izvod f’, u oznaci f“, zove drugi izvod f. Možemo nastaviti proces izvođenja izvoda i dobiti treći, četvrti, peti i više izvode f. Oni se označavaju sa f’, f“, f“’, f(4), f(5), …

Primer 13: Nađite peti izvod funkcije f(x) = 2x4 – 3x3 + 5x2 – x – 1.

Rešenje:

f'(x) = 8x3 – 9x2 + 10x – 1

f“(x) = 24x2 – 18x + 5

f“'(x) = 48x – 18

f(4)(x) = 48

f(5)(x) = 0

Zadaci za vežbanje („pozajmljeni“ iz Krug-ove zbirke za četvrti razred):

  1. Nađite izvod funkcije y = x2 – 3x + 4.
  2. Nađite izvod funkcije y = x5 + 3x8 + x-9 + 4/x8.
  3. Nađite izvod funkcije y = ¾ 3√x2.
  4. Nađite izvod funkcije y = (x2 – 3x + 3)(x2 + 2x – 1).
  5. Nađite izvod funkcije y = x3/(x – 4).
  6. Nađite četvri izvod funkcije y = 1 – x2 – x4.

4 komentara »

  1. Јао, кад се сетим извода… Сјајно су ми ишли ти задаци.🙂

    Komentar od metodicar — 21. februar 2012. @ 7:07 pm | Odgovor

    • Da, kad jednom naučiš, posle je stvarno interesantno😀

      Komentar od jelena100janovic — 21. februar 2012. @ 11:17 pm | Odgovor

      • Slažem se potpuno. Neopisiv je osećaj kada se namučiš sa nekim jako složenim izvodom ili integralom, pogledaš u rešenje i vidiš da ti je odgovor tačan. Jednom mi je jedan učenik rekao: „Kako je dobar osećaj kada tačno uradiš zadatak.“🙂

        Komentar od matematikon — 21. februar 2012. @ 11:39 pm

      • To bi trebalo da bude pravilo inače što se matematike tiče. Ja ponekad objašnjavam nekim đacima kada se oduševe matematikom da je to jedan pravi perpetumobile…

        Ako razumeš, tačni su ti zadaci, više voliš matematiku, pa više vežbaš, bolje razumeš i tako u krug…

        Ali, ako ne razumeš šta radiš, onda prestaneš da je voliš, jer tako nije ni zanimljiva ni lepa😦

        Komentar od jelena100janovic — 21. februar 2012. @ 11:56 pm


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: