Skupljanja i širenja grafika funkcije

U prethodnoj lekciji smo videli kako se grafik funkcije menja kada dodajemo konstantu celoj funkciji, a kako kada je dodajemo nepoznatoj. Sada ćemo razmotriti rezultat množenja funkcije ili nepoznate (x) nekim koeficijentom.

Ako pomnožimo funkciju koeficijentom, grafik funkcije će se raširiti ili skupiti. Pogledajte grafike triju parabola ispod.

Najšira parabola je funkcija y = (1/5)x². Srednja parabola je funkcija y = x². Najtanja parabola je funkcija y = 10x². Iz ovih grafika, možemo videti da množenje različitim koeficijentima ima različite efekte na grafik y = x². Grafik y = 10x² predstavlja vertikalno širenje grafika y = x². Svaka vrednost funkcije y = 10x² je 10 puta veća od odgovarajuće vrednosti funkcije y = x². Na primer, y = x² sadrži tačku (2, 4) dok y = 10x² sadrži tačku (2, 40).

Koeficijent 1/5 ima suprotan efekat. Ovo opisujemo kao vertikalno skuljanje. Svaka vrednost funkcije y = (1/5)x² je 1/5 vrednosti y = x². Na primer, y = x² sadrži tačku (10, 100), dok y = (1/5)x² sadrži tačku (10, 20).

Možemo izvesti zaključke na sledeći način:

• Funkcija g(x) = cf(x) predstavlja vertikalno širenje ako je c > 1.
• Funkcija h(x) = cf(x) predstavlja vertikalno skupljanje ako je 0 < c < 1.

Primetite da je grafik y = (1/5)x² širi od druge dve parabole. Dok 1/5 ima efekat skupljanja grafika y = x² vertikalno, možemo takođe opisati grafik kao horizontalno raširen. Formalno, karakterišemo neku transformaciju kao horizontalno širenje ili skupljanje ako je funkcija oblika g(x) = f(cx). To jest, umesto množenja funkcije koeficijentom, promenljiva x je pomnožena sa c. Međutim, ako analiziramo neku kvadratnu funkciju, možemo videti zašto vertikalno skupljanje izgleda kao horizontalno širenje. (Parabola postaje niža i šira, ili viša i tanja.)

Razmotrimo na primer funkciju y = (3x)². Pomnožili smo x sa 3. Ovo bi trebalo da ima uticaj na grafik horizontalno. Međutim, ako uprostimo jednačinu, dobićemo y = 9x². Zato će grafik ove parabole biti viši i tanji od y = x². Množenje x brojem većim od 1 dovodi do horizontalnog skupljanja, koje izgleda kao vertikalno širenje.

Sada razmotrimo funkciju y = ((1/2)x)². Ako uprostimo ovu jednačinu, dobićemo y = (1/4)x². Zato množenje x brojem između 0 i 1 dovodi do horizontalnog širenja, koje izgleda kao vertikalno skupljanje. To jest, parabola će biti niža i šira.

Možemo videti slično ponašanje i kod drugih funkcija. Na primer, razmotrimo funkcije y = √x, y = √(4x) i y = 2√x, prikazane na grafiku ispod. Ako uprostimo drugu jednačinu, dobićemo y = √(4x) = √4 · √x = 2√x. Zato su druga i treća jednačina u stvari ista funkcija, koju možemo opisati kao vertikalno širenje ili horizontalno skupljanje.

Ako je data funkcija f(x), možemo zaključiti da skupljanje i širenje grafika f(x) funkcioniše na sledeći naćin:

• Funkcija g(x) predstavlja vertikalno širenje f(x) ako je g(x) = cf(x) i c > 1.
• Funkcija g(x) predstavlja vertikalno skupljanje f(x) ako je g(x) = cf(x) i 0 < c < 1.
• Funkcija h(x) predstavlja horizontalno skupljanje f(x) ako je h(x) = f(cx) i c > 1.
• Funkcija h(x) predstavlja horizontalno širenje f(x) ako je h(x) = f(cx) i 0 < c < 1.

Zadaci za vežbu:

1. Skicirati grafik funkcije y = (1/2)x².
2. Skicirati grafik funkcije y = cos((1/2)x).