On-line učionica

17. februar 2012.

Još neki korisni identiteti

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 8:08 pm

U udžbenicima i zbirkama se ova lekcija zove „svođenje na prvi kvadrant“, jer se ovakvi identiteti izvode na osnovu jediničnog kruga. Mi ćemo to ovde malko drugačije ispričati… 🙂

Parne i neparne funkcije

Funkcije mogu biti parne, neparne, ili ni parne ni neparne u zavisnosti od toga kako njihovi grafici izgledaju. Na primer, y = x2 je parna funkcija jer krajevi parabole teže istoj strani, parabola je simetrična u odnosu na y-osu. y = x3 je neparna funkcija iz potpuno suprotnog razloga. Njeni krajevi teže suprotnim stranama i simetrična je u odnosu na koordinatni početak. Šta je sa trigonometrijskim funkcijama? One nemaju eksponent koji bi nas asocirao na parnost ili neparnost (kada je stepen paran, funkcija je parna, kada je stepen neparan, funkcija je neparna).

Parna funkcija: y = (-x)2 = x2 (minus nestaje)

Neparna funkcija: y = (-x)3 = –x3 (minus ostaje)

Hajde da vidimo sinus. Počećemo od sin(-x). Da li će minus nestati ili ostati? Hajde da zamenimo nekoliko vrednosti da proverimo.

x sin x -x sin(-x) minus…
π/6 1/2 -π/6 -1/2 ostaje
π/4 √2/2 -π/4 -√2/2 ostaje
π/3 √3/2 -π/3 -√3/2 ostaje

Odavde vidimo da je sinus neparna. Zato, sin(-x) = -sin x, za proizvoljnu vrednost x. Za kosinus, probaćemo opet nekoliko vrednosti da vidimo da li je parna ili neparna.

x cos x -x cos(-x) minus…
π/6 √3/2 -π/6 √3/2 nestaje
π/4 √2/2 -π/4 √2/2 nestaje
π/3 1/2 -π/3 1/2 nestaje

Ovo nam govori da je kosinus paran. Zato, cos(-x) = cos x, za proizvoljnu vrednost x. Ostale trigonometrijske funkcije se ponašaju na sledeći način:

Na isti način je i ctg(-x) = -ctg x.

Primer 1: Ako je cos(-x) = 3/4 i tg(-x) = √7/3, naći sin x.

Rešenje: Znamo da je sinus neparan. Kosinus je paran, pa je cos x = 3/4. Tangens je neparan, pa je tg x =√7/3. Dakle, sinus je pozitivan i

Identiteti sa komplementarnim uglovima

Setite se da su dva ugla komplementarna ako im je zbir 90°. U svakom trouglu, zbir unutrašnjih uglova je 180°, a prav ugao ima 90°. Dakle, dva preostala oštra ugla trougla u zbiru daju 90°, pa su komplementarni. Hajde da iskoristimo ovu činjenicu da bi našli vezu između trigonometrijskih funkcija jednog ugla i trigonometrijskih funkcija njemu komplementarnog ugla.

U trouglu ABC, ugao kod temena C je prav, a uglovi kod temena A i B su komplementarni.

Ove identitete smo već sreli prošle godine i pošto su uglovi kod temena A i B komplementarni, važi da je sin α = cos β, cos α = sin β, tg α = ctg β i ctg α = tg β. Za sve prethodno važi α = π/2 – β. U opštem slučaju:

Na sledećem grafiku možete videti grafike y = sin x i y = cos x:

Primetite da bi fazno pomeranje od π/2 dovelo do preklapanja ova dva grafika. Ovi identiteti važe za sve realne brojeve za koje su obe strane jednakosti definisane.

Primer 2: Ako je tg(π/2 – x) = -4,26, odredite ctg x.

Rešenje: ctg x = -4,26.

Primer 3: Ako je sin α = 0,91, odredite cos(90° – α).

Rešenje: cos(90° – α) = 0,91.

Primer 4: Pokažite da je sin(π/2 – x) = cos(-x).

Rešenje: Koristeći identitete koje smo naučili u ovoj lekciji, sin(π/2 – x) = cos x, a osinus je parna funkcija pa je cos(-x) = cos x. Dakle, obe strane jednakosti su jednake cos x, pa su zato jednake i međusobno.

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: