On-line učionica

9. februar 2012.

Grafik sinusoide date u opštem obliku

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 9:29 am

U nekoliko prethodnih lekcija, naučili ste kako da pomerate, širite i sužavate sinusoide i horizontalno i vertikalno. Kombinujući sve naučene informacije, opšti oblik jednačine glasi: y = D ± A cos (B(x±C)) ili y = D ± A sin (B(x±C)), gde je A amplituda, B frekvencija, C horizontalno pomeranje, a D vertikalno.

Setite se još veze između perioda, T, i frekvencije, B.

,  

Sa ovim znanjem, trebalo bi da umemo da nacrtamo proizvoljnu sinusnu ili kosinusnu funkciju kao i da napišemo jednačinu na osnovu datog grafika.

Crtanje grafika, odnosno identifikacija transformacija iz jednačine

Primer 1: Data je funkcija: f(x) = 1 + 2 sin (2(x+π))
a) Odredite period, amplitudu i frekvenciju.
b) Objasnite sva pomeranja grafika na osnovu jednačine.
c) Nacrtajte grafik od -2π do .

Rešenje: a) Iz jednačine, amplituda je 2 i frekvencija takođe 2. Da bi našli period koristimo:

Dakle, imamo dva cela talasa u [0, 2π] i svaki od njih staje u π radijana.

b) D = 1 i C = -π, pa je ovaj grafik pomeren za 1 nagore, a za π ulevo.

c) Da bi nacrtali grafik, počećemo od grafika y = sin x.

Pomerićemo grafik za π ulevo.

Dalje, pomerićemo grafik za 1 nagore.

Sada možemo dodati skupljanja i širenja. Zapamtite da je „početna tačka“ talasa zbog horizontalnog pomeranja. Normalnoj sinusoidi treba da bi završila ciklus, ali ovaj talas završava jedan ciklus unutar π. Prvi talas će se završiti u 0, a onda ćemo imati drugi talas od 0 do π i treći od π do . Počećemo postavljajući tačke u ovim vrednostima:

Simetrično, u sredini svakog intervala talas će seći pravu y = 1.

Jedan sinusni talas se sastoji od „planine“ i „doline“. „Vrh“ planine i najniža tačka doline se moraju pojaviti na polovini puta između gornjih tačaka.

Spojite tačke i produžite krivu.

Na kraju, povećajte minimalne i maksimalne tačke da bi dobili amplitudu 2.

Primer 2: Data je funkcija f(x) = 3 + 3 cos (½(x-π/2)).
a) Odredite period, amplitudu i frekvenciju.
b) Objasnite sva pomeranja grafika na osnovu jednačine.
c) Nacrtajte grafik od -2π do .

Rešenje: a) Iz jednačine, amplituda je 3 i frekvencija ½. Da bi našli period računamo:

Dakle, imamo samo polovinu kosinusne krive od 0 do i svakom talasu treba radijana da bi se završio.

b) D = 3 i C = π/2, pa se grafik pomera za 3 nagore, a za π/2 udesno.

c) Da bi nacrtali grafik, počećemo od grafika y = cos x.

Prilagodite amplitudu tako da kosinus dostiže gore do 3 i dole do negativne trojke. Ovo utiče na maksimalne tačke, ali tačke na x-osi ostaju iste. Ove tačke se ponekad zovu čvorovi.

Na osnovu perioda, trebalo bi da vidimo ovaj oblik svakih . Pošto je traženi interval [-2π, 2π] i kosinusna kriva „počinje“ na y-osi, u (0, 3), u će vrednost biti -3. Suprotno, u -2π, funkcija je takođe -3.

Sada, pomerite grafik za π/2 udesno.

Na kraju, moramo da podesimo vertikalno pomeranje, podižući je za 3.

7 komentara »

  1. Одличан чланак, као и остали у серији. Свака част!

    Komentar od Синиша Бубоња — 9. februar 2012. @ 7:33 pm | Odgovor

    • Hvala.🙂 Bilo je uživanje praviti ih… Posebno zbog prilike da učim i istražujem nove alate.

      Komentar od jelena100janovic — 9. februar 2012. @ 9:28 pm | Odgovor

  2. Које алате користите?

    Komentar od Синиша Бубоња — 12. februar 2012. @ 5:59 pm | Odgovor

    • Slike su rađene u „The Geometer’s Sketchpad“-u, a posle copy/paste-ovane i izvezene u gif u proizvoljnom programu za obradu slika. Animacije pravim u GeoGebri. Mogu se napraviti i u onom gornjem programu, ali on ima neki svoj format koji se ne može upload-ovati na WordPress😦
      Svejedno ga koristim za obične slike, jer mi se sviđa default-ni izbor boja😉 Ispadnu lepe i šarene, a i lepo se vidi šta sam htela da postignem🙂

      Komentar od jelena100janovic — 12. februar 2012. @ 6:11 pm | Odgovor

  3. Ја сам такође мислио да користим GeoGebr-у, али никако да кренем🙂 .

    Komentar od Синиша Бубоња — 12. februar 2012. @ 6:14 pm | Odgovor

    • Recept: Osmislite članak na svom blogu (pošto ste već „navučeni“ na pisanje) u kome želite da koristite neku „geometrijsku“ animaciju. Onda skinete i pokrenete GeoGebru i probate da to napravite tako kako ste zamislili. Sve ostalo dođe nekako usput😀

      Komentar od jelena100janovic — 12. februar 2012. @ 6:18 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: