On-line učionica

7. februar 2012.

Period i frekvencija

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 12:45 pm

Period trigonometrijske funkcije je horizontalno rastojanje između vrednosti koje se ponavljaju. Za oba grafika, y = sin x i y = cos x, period je 2π. Kao što smo već ranije naučili, nakon što se završi jedan pun krug, vrednosti se ponavljaju.

Frekvencija je mera koja je blisko vezana uz period. U nauci, frekvencija zvuka ili svetlosnog talasa je broj celih talasa u datom vremenskom periodu (npr. sekundi). U trigonometiji, pošto se sve ove periodične funkcije oslanjaju na jedinični krug, obično merimo frekvenciju kao broj celih talasa svakih 2π. Pošto y = sin x i y = cos x prelaze tačno jedan ceo talas na ovom intervalu, njihova frekvencija je 1.

Period i frekvencija su obrnuto srazmerne. To jest, što je veća frekvencija (više talasa unutar 2π), manji je period (kraće je rastojanje na x-osi za svaki kompletan ciklus).

Nakon analize transformacija koje su nastale množenjem funkcije, deluje prirodno pogledati šta se dešava ako množimo argument funkcije, ili drugim rečima, x vrednost. U opštem slučaju, jednačina bi bila y = sin Bx ili y = cos Bx. Na primer, pogledajte grafike y = cos 2x i y = cos x.

Primetite da se broj talasa za y = cos 2x povećao, u odnosu na y = cos x. Sada postoje 2 talasa na intervalu od 0 do . Zamislite kako duplirate svaku x vrednost jer je u argumentu 2x. Kada se zameni π, na primer, argument postaje 2π. Dakle deo grafika koji normalno upada u na x-osi, sada upada u polovinu tog rastojanja – dakle grafik je „skupljen“ horizontalno. Frekvencija ovog grafika je zato 2, ili isto kao konstanta kojom smo množili argument. Period (dužina svakog celog talasa) je π.

Primer 1: Koliki su period i frekvencija y = sin 3x?

Rešenje: Ako pratimo logiku iz prethodnog primera, množenje ugla sa 3 bi trebalo da dovede do toga da sinus završi ciklus tri puta brže nego y = sin x. Dakle, biće tri cela talasa na intervalu od 0 do . Frekvencija je zato 3. Slično, ako postoje 3 cela talasa unutar , jedan talas će biti trećina tog rastojanja, ili 2π/3. Evo grafika:

Ovaj broj kojim množimo x, nazvan B, će praviti horizontalna skupljanja i širenja. Što je veća vrednost B, talasi će biti suženiji. Da bi raširili grafik horizontalno, trebalo bi da smanjimo frekvenciju, ili da množimo brojem koji je manji od 1. Zapamtite da je faktor sužavanja ili širenja obrnuto stazmeran periodu grafika.

Dodavanjem, poslednji put našim jednačinama od pre, sada imamo: y = D ± Asin (B(x ± C)) ili y = D ± Acos (B(x±C)), gde je B frekvencija, period je jednak 2π/B, a sve ostalo je definisano ranije.

Primer 2: Koliki su period i frekvencija y = cos ¼x?

Rešenje: Koristeći generalizaciju odozgo, frekvencija mora biti ¼ i zato je period 2π/¼, što daje: 2π : ¼ = 2π · 4 = 8π.

Posmatrajući to kao transformaciju, grafik se širi horizontalno. Videli bismo samo ¼ krive ako bismo crtali funkciju od 0 do . Da bi videli ceo talas, zato, morali bismo da crtamo 4 puta duže, ili od 0 do .

Kombinovanje amplitude i perioda

Evo nekoliko primera sa amplitudom i periodom.

Primer 3: Naći period, amplitudu i frekvenciju y = 2 cos ½x i nacrtati grafik od 0 do .

Rešenje: Ovo je grafik kosinusa koji je raširen i vertikalno i horizontalno. Sada će se kretati od 2 do -2. Frekvencija je ½ i da bi videli ceo period morali bi da nacrtamo interval [0, 4π]. Pošto crtamo samo do , videće se samo polovina talasa. Kompletan kosinusni talas izgleda ovako:

Dakle, polovina toga je:

Ovo znači da će ova polovina biti raširena tako da se završava u , što znači da će u π grafik seći x-osu:

Konačni crtež bi izgledao ovako:

Primer 4: Odrediti period, amplitudu, frekvenciju i jednačinu sedeće sinusoide:

Rešenje: Amplituda je 1,5. Primetite kako jedinice na x-osi nisu obeležene pomoću π. Ovo je izgleda sinus jer je presek sa y-osom u 0.

Jedan talas se izgleda završava u 1 (ne !), pa je period 1. Ako je jedan talas završava unutar 1, koliko će ih biti unutar ? U prethodnim primerima, bila vam je data frekvencija i tražen je period pomoću sledeće formule:

gde je B frekvencija, a T period. Uz samo malo matematičkog znanja, možemo izvesti formulu za B:

Zato, frekvencija je:

Kada bismo crtali ovo do videli bi (ili malo više od 6) celih talasa. Zamenjujući ove vrednosti u jednačinu dobijamo: f(x) = 1,5sin 2πx.

2 komentara »

  1. Увек сам волео тригонометрију, посебно када је овако лепо објашњена. Ова и све друге лекције на овом блогу злата вреде за некога ко то треба да научи. Прави мини уџбеник, уз то квалитетан.

    Komentar od metodicar — 7. februar 2012. @ 2:15 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: