On-line učionica

3. februar 2012.

Pomeranja grafika funkcije

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 10:37 pm

U prethodnim lekcijama smo ispitivali glavne karakteristike različitih familija funkcija. U ovoj i još par lekcija, skoncentrisaćemo se na veze između funkcija unutar date famlije. Tačnije, analiziraćemo kako je proizvoljna funkcija povezana sa glavnom funkcijom te familije (npr. y = x2) tako da možemo efikasno prepoznati glavne karakteristike pojedine funkcije i skicirati njen grafik. Razmotrićemo nekoliko vrsta odnosa između funkcija i glavnih funkcija familije: pomeranja, „širenja“ i „skupljanja“ i simetrije. Počećemo sa pomeranjima.

Vertikalna pomeranja

Razmotrimo grafike triju funkcija prikazanih ispod: y = x2, y = x2 – 3 i y = x2 + 4.

Na prvi pogled, može Vam se učiniti da grafici imaju različite širine. Na primer, možda izgleda kao da je y = x2 + 4, najgornja od tri parabole, šira od druge dve parabole. Međutim, ovo nije slučaj. Parabole su podudarne. To jest, kada bi pomerili grafik y = x2 nagore za četiri, dobili bi potpuno isti grafik kao y = x2 + 4. Slično, ako bi pomerili y = x2 nadole za tri, dobili bismo grafik y = x2 – 3.

Numerički, možemo utvrditi da je za proizvoljnu vrednost x, vrednost y = x2 + 4 za 4 veća od vrednosti y = x2, a da je vrednost y = x2 – 3 za 3 manja od vrednosti y = x2. Tabela ispod pokazuje nekoliko vrednosti funkcija:

 x y = x2 y = x2 – 3 y = x2 + 4
0 0 -3  4
1 1 -2  5
2 4 1  8
5 25 22  29
10 100 97  104

Formalno možemo izraziti ovu vezu na sledeći način: za proizvoljnu funkciju f(x), funkcija g(x) = f(x) + c ima grafik koji je isti kao f(x), vertikalno pomeren za c. Ako je c pozitivno, grafik je pomeren nagore. Ako je c negativno, grafik je pomeren nadole. Onda možemo koristiti ovu vezu da bi skicirali grafike.

Primer 1: Koristeći grafik y = x2 skicirajte funkciju y = x2 – 5.

Rešenje: Grafik y = x2 je parabola sa temenom u (0, 0). Grafik y = x2 – 5 je dakle parabola sa temenom (0, -5). Da bi brzo skicirali y = x2 – 5, možete nacrtati nekoliko tačaka na y = x2, a onda ih spustiti za 5.

Da zaključimo, kada dodamo ili oduzmemo konstantu od jednačine funkcije, grafik dobijene funkcije je vertikalno pomeren u odnosu na originalnu funkciju. Možemo koristiti sličan rezon za crtanje funkcija koje se dobijaju horizontalnim pomeranjem grafika.

Horizontalna pomeranja

Razmotrimo funkcije f(x) = |x| i g(x) = |x – 3|. Na osnovu primera ertikalnih pomeranja iznad, mogli biste pomisliti da je grafik g(x) grafik f(x), pomeren ulevo za 3. Međutim, ovo nije slučaj. Grafik g(x) je grafik f(x), pomeren udesno za 3. Smer pomeranja ima smisla ako pogledamo neke specifične vrednosti funkcije.

x y = |x| y = |x – 3|
0 0 3
1 1 2
2 2 1
3 3 0
4 4 1

Iz tabele možemo videti da su temena grafika tačke (0, 0) i (3, 0). Vrednosti obe funkcije s obe strane temena su simetrične i veće od 0.

Možemo formalizovati horizontalna pomeranja na isti način kao što smo formalizovali vertikalna pomeranja: ako je data funkcija f(x) i konstanta a > 0, funkcija g(x) = f(x – a) predstavlja horizontalno pomeranje za a udesno od f(x). Funkcija h(x) = f(x + a) predstavlja horizontalno pomeranje za a ulevo.

Primetite da je u slučaju horizontalnog pomeranja, konstanta de „ulaza“ funkcije. Na primer, y = (x + 7)2 predstavlja horizontalno pomeranje originalne funkcije y = x2, dok y = x2 + 7 predstavlja vertikalno pomeranje. Važno je da pamtite ovu razliku dok crtate jednačine.

Primer 2: U čemu je razlika između f(x) = x2 i g(x) = (x – 2)2 – 6?

Rešenje: Grafik g(x) je grafik f(x), pomeren za 2 udesno i za 6 nadole.

Da zaključimo, dodavanje ili oduzimanje konstanti unutar jednačine funkcije proizvodi vertikalno ili horizontalno pomeranje grafika. Kada je konstante „unutar“ zagrada, pomeranje će biti horizontalno.

Zadaci za vežbu:

  1. Skicirati grafik funkcije iz drugog primera.
  2. Skicirati grafik funkcije y = 1 + sin(x – π).

2 komentara »

  1. Da li bi neko mogao da mi pomogne?U resavanju jednog zadatka,koji mi je jako bitan.Unapred zahvalna🙂

    Komentar od zzvoncica — 21. jun 2012. @ 7:46 pm | Odgovor

  2. […] funkcija 1 2 […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 12. septembar 2015. @ 9:37 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: