On-line učionica

28. januar 2012.

Grafici ostalih trigonometrijskih funkcija

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 12:22 pm

Grafik kosinusne funkcije

Prošle godine ste naučili da su sinus i kosinus usko vezani. Kosinus nekog ugla je jednak sinusu njemu komplementnog ugla. Dakle, ne bi trebalo da bude iznenađujuće da su grafici sinusa i kosinusa jako slični i da su obe periodične funkcije sa periodom , kodomenom od -1 do 1 i domenom svih realnih brojeva.

Kosinus ugla je odnos x/r, pa je na jediničnom krugu, kosinus x-koordinata tačke koja rotira. Ako pratimo x-koordinatu kroz rotaciju, videćete da je promena u rastojanju slična sin x, s tim što cos x počinje od 1 umesto od 0. x-koordinata za 0◦ je 1, a za 90◦ je 0, pa vrednost kosinusa opada od 1 do 0 kroz prvi kvadrant.

Evo animacije slične onoj koju smo koristili za sinus. Ovog puta poredite x-koordinatu tačke koja rotira sa visinom tačke koja iscrtava grafik. Ovaj grafik iscrtava (θ, cos θ) u koordinatnu ravan kao (x, y).

Ucrtavanje uglova četvrtine kruga i spajanje talasom prikazuje grafik y = cos x.

Primetite da je oblik krive isti kao kod sinusa, ali pomeren za π/2.

Grafik tangensa

Tangens je dobio ime po tangenti kruga. To je prava koja je normalna na poluprečnik kruga u tački u kojoj ga dodiruje.

Ako produžimo krak ugla θ preko jediničnog kruga tako da se seče sa tangentom, tangens je definisan kao dužina crvene duži.

Setite se da je tg θ odnos naspramne i nalegle katete, odakle dobijamo da je crvena duž tangens.

Dakle, kako budemo povećavali ugao rotacije, zamislite kako će se ova duž menjati. Kada je ugao nula, duž nema dužinu. Kako rotiramo kroz prvi kvadrant, povećavaće se prvo polako, a kada pređe jedan, onda brzo.

Kako se pribliižavamo y-osi duž postaje beskonačno velika, dok ugao ne dostigne 90◦, kada će krak ugla i tangenta biti paralelne i neće se seći.

To znači da ne postoji konačna dužina duži na tangenti, odnosno tangens je beskonačno veliki.

Prevedimo ovo parče grafika u koordinatnu ravan. Ucrtajmo (θ, tg θ) kao (x, y).

U stvari, kako se približavamo 90◦, vrednost tangensa se bezgranično povećava, sve dok stvarno ne dostignemo 90◦, kada je nedefinisan. Setite se da postoje uglovi za koje tangens nije definisan. Zato će, u ovim tačkama, postojati vertikalne asimptote.

Rotacijom preko 90◦, presek kraka ugla i tangente će se preseliti ispod x-ose. Ovo se lepo uklapa u činjenicu da je tangens uglova u drugom kvadtantu negativan. Na početku će imati velike negativne vrednosti, ali kako ugao rotira, duž se smanjuje, dostiže 0, onda se vraća na pozitivne brojeve kada ugao uđe u treći kvadrant. Duž će ponovo postati beskonačno velika kako se ugao približava 270◦. Nakon što tangens bude nedefinisan za 270◦, ugao prelazi u četvrti kvadrant i ponovo prolazi od beskonačno negativne vrednosti, do prilaska nuli kako završava punu rotaciju.

Grafik y = tg x kroz nekoliko rotacija bi izgledao ovako:

Primetite da je x-osa u radijanima. Naše asimptote se pojavljuju svakih π radijana, počevši u π/2. Period grafika je zato π raijana. Domen su svi realni brojevi osim onih u kojima su asimptote π/2, 3π/2, -π/2, …, a kodomen su svi realni brojevi.

Kotangens

Kotangens je recipročna funkcija funkciji tangens, ctg x = 1 / tg x, pa ima smisla da gde god tangens ima asimptotu, kotangens bude nula. Obrnuto je takođe tačno. Kada je tangens nula, sada kotangens ima asimptotu. Oblik krive je generalno isti, pa grafik izgleda ovako:

Kotangens ima za domen sve realne brojeve osim umnožaka π. Kodomen su svi realni brojevi.

Edit: zaboravih da napomenem – animacije rađene u GeoGebri

6 komentara »

  1. Сјајне лекције. Стварно сам одушевљен.

    Komentar od metodicar — 28. januar 2012. @ 12:45 pm | Odgovor

    • Joj, hvala opet!😀 Taman sam čitala priču o veličinama kod Vas😉

      Komentar od jelena100janovic — 28. januar 2012. @ 12:59 pm | Odgovor

      • Ето, примена математике и физике у биологији.🙂

        Komentar od metodicar — 29. januar 2012. @ 8:33 pm

  2. Ovo je zaista jako dobro objašnjeno. Mnogo mi je pomoglo.
    Zanima me imate li na sajtu lekciju o primjeni trigonometrije ? Prvenstveno u ekonomiji ?😀

    Komentar od Amna — 17. januar 2013. @ 9:34 pm | Odgovor

    • Hvala na komplimentu. Ja radim u tehničkoj školi, pa su i primene prilagođene tome. Možda jednog dana…🙂

      Komentar od jelena100janovic — 18. januar 2013. @ 7:37 am | Odgovor

      • Šteta. Dobro bi mi došlo za maturski😀

        Komentar od Amna — 25. januar 2013. @ 11:31 pm


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: