On-line učionica

19. januar 2012.

Malo primene radijana…

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 9:58 am

Rotacije

Primer 1: Skazaljke sata pokazuju 11 i 20. Izrazite tup ugao koji zaklapaju mala i velika skazaljka u radijanima.

Rešenje: Sledeća slika pokazuje poziciju skazaljki u navedeno vreme.

Pošto postoji 12 delova na satu, ugao između svaka dva je 2π/12 = π/6 (ili 30◦). Dakle, ugao između 12 i 4 je 4 · π/6 = 2π/3 (ili 120◦). Pošto je rotacija od 12 do 4 jedna trećina kompletne rotacije, logično je pretpostaviti da se mala skazaljka kreće neprekidno i da je zato prešla jednu trećinu rastojanja između 11 i 12. Dakle, 1/3 · π/6 = π/18, a ukupna mera ugla x je zato x = 2 · π/18 + 2π/3 = π/9 + 6π/9 = 7π/9.

Dužina luka

Dužina kružnog luka zavisi i od ugla rotacije i od dužine poluprečnika kruga. Ako se sećate iz prethodne lekcije, mera ugla u radijanima se definiše kao rotacija sa dužinom luka jednog poluprečnika. Šta da je poluprečnik 4 cm? Onda bi dužina luka polukruga bila π pomnoženo sa dužinom poluprečnika, ili 4π cm.

Odavde dobijamo formulu koja se može koristiti za računanje dužine proizvoljnog luka.

gde je l dužina luka, r je poluprečnik, a θ je mera ugla u radijanima.

Ako rešimo ovu jednačinu po θ dobićemo formulu za nalaženje ugla u radijanima ako su nam date dužina luka i poluprečnika:

Primer 2: Centralni krug na košarkaškom terenu ima poluprečnik 1,8 m u međunarodnoj košarci, dok je na NBA terenu 6 inča, tj. 1,83 m. Za koliko je centralni krug na NBA terenu duži od kruga u međunarodnoj košarci?

Rešenje: Nađimo dužine oba kruga.

Dakle odgovor je približno 11,4924 – 11,304 = 0,1884 m

Ovo je oko 18,84 cm, ili oko 19 cm duže.

Primer 3: Dva vezana zupčanika rotiraju. Manji zupčanik ima poluprečnika 4 cm a veći je poluprečnika 7 cm. Za koliki ugao će se okrenuti veći zupčanik dok se manji zupčanik zarotira za ceo krug?

Rešenje: Pošto crveni zupčanik vrši jednu celu rotaciju, dužina luka koji opiše je:

l = 4 · 2π = 8π

Dakle, veći zupčanik će opisati luk dužine 8π što će biti ugao od:

θ = 8π/7

Dakle ugao je 8π/7 radijana.

Površina isečka

Jedna od najčešćih geometrijskih formula je za površinu kruga:

P = r2π

U smislu rotacije, ovo je površina koju pokriva rotacija od 2π radijana.

Polukrug, ili rotacija od π radijana bi pokrila površinu, ili kružni isečak jednak polovini površine kruga ili:

Dakle ugao od 1 radijana bi pokrivao površinu isečka jednaku:

r2/2

Iz ovoga možemo odrediti površinu isečka koji pokriva proizvoljan ugao, od θ radijana, što je:

Primer 4: Često viđamo prskalice za navodnjavanje travnatih površina.

Preuzeto sa aquagreengarden.com

Ako prskalica dobacuje 4,5 m, koliku površinu može nakvasitti nakon rotacije od 2π/3 radijana?

Preuzeto sa gardena.com

Rešenje: Korišćenjem formule:

Površina je približno 21,195 kvardatnih metara.

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: