On-line učionica

10. januar 2012.

Diskriminanta

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 7:48 pm

U formuli za rešavanje kvadratne jednačine

izraz unutar korena se zove diskriminanta. Diskriminanta se može koristiti za analizu prirode rešenja kvadratne jednačine bez rešavanja iste. Evo kako:

Ako je b2 – 4ac > 0, jednačina ima dva različita realna rešenja.

Ako je b2 – 4ac < 0, jednačina ima samo kompleksna rešenja.

Ako je b2 – 4ac = 0, jednačina ima jedno realno rešenje, dvostruki koren.

Računanje diskriminante kvadratne jednačine

Da bi našli diskriminantu kvadratne jednačine računamo D = b2 – 4ac.

Primer 1: Nađite diskriminantu svake od kvadratnih jednačina. Onda odredite koliko realnih rešenja će imati kvadratna jednačina bez rešavanja.

a) x2 – 5x + 3 = 0

b) 4x2 – 4x + 1 = 0

c) -2x2 + x = 4

Rešenje:

a) Zamenite a = 1, b = -5 i c = 3 u formulu za diskriminantu: D = (-5)2 – 4 · 1 · 3 = 13 > 0, pa imamo dva realna rešenja.

b) Zamenite a = 4, b = -4 i c = 1 u formulu za diskriminantu: D = (-4)2 – 4 · 4 · 1 = 0, pa imamo jedno realno rešenje.

c) Napišite jednačinu u standardnom obliku: -2x2 + x – 4 = 0. Zamenite a = -2, b = 1 i c = -4 u formulu za diskriminantu: D = 12 – 4 · (-2) · (-4) = -31 < 0, pa nećemo imati realnih rešenja.

Interpretacija diskriminante kvadratne jednačine

Znak diskriminante nam govori o prirodi rešenja (ili korena) kvadratne jednačine. Možemo dobiti dva različita realna rešenja ako je D > 0, dva kompleksna rešenja ako je D < 0, ili jedno rešenje (koje se zove dvostruki koren) ako je D = 0. Setite se da nam broj realnih rešenja kvadratne jednačine govori koliko puta njen grafik seče x-osu. Ako je D > 0, grafik seče x-osu na dva mesta, ako je D = 0 dodiruje je, a ako je D < 0 nemaju dodirnih tačaka.

Primer 2: Ispitajte prirodu rešenja svake od kvadratnih jednačina:

a) 4x2 – 1 = 0

b)  10x2 – 3x = -4

c)  x2 – 10x + 25 = 0

Rešenje: Koristićemo vrednost diskriminante da bi ispitali prirodu rešenja kvadratne jednačine.
a) Zamenite a = 4, b = 0 i c = -1 u formulu za diskriminantu: D = 02 – 4 · 4 · (-1) = 16. Diskriminanta je pozitivna, pa jednačina ima dva različita realna rešenja.

b) Napišite jednačinu u standardnom obliku: 10x2 – 3x +4 = 0. Zamenite a = 10, b = -3 i c = 4 u formulu za diskriminantu: D = (-3)2 – 4 · 10 · 4 = -151. Diskriminanta je negativna, pa jednačina ima dva kompleksna rešenja.

c) Zamenite a = 1, b = -10 i c = 25 u formulu za diskriminantu: D = 102 – 4 · 1 · 25 = 0. Diskriminanta je 0, pa jednačina ima dvostruki koren.

Ako jediskriminanta potpun kvadrat, onda rešenja jednačine nisu samo realna, već i racionalna. Ako je diskriminanta pozitivna ali nije potpun kvadrat, onda su rešenja jednačine realna, ali iracionalna.

Primer 3: Ispitajte prirodu rešenja svake od kvadratnih jednačina:

a) 2x2 + x – 3 = 0

b) 5x2 – x – 1 = 0

Rešenje: Koristićemo diskriminantu da bi odredili prirodu rešenja.

a) Zamenite a = 2, b = 1 i c = -3 u formulu za diskriminantu: D = 12 – 4 · 2 · (-3) = 25. Diskriminanta je pozitivni potpun kvadrat, pa su rešenja dva racionalna broja.

b) Zamenite a = 5, b = -1 i c = -1 u formulu za diskriminantu: D = (-1)2 – 4 · 5 · (-1) = 21. Diskriminanta je pozitivna ali nije potpun kvadrat, pa su rešenja dva iracionalna broja.

1 komentar »

  1. […] Diskriminanta […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za drugi razred | On-line učionica — 3. januar 2016. @ 5:27 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: