On-line učionica

13. decembar 2011.

Podsećanje na kvadratne funkcije

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 11:30 am

Kvadratna funkcija je funkcija čiji je grafik parabola. Jednačina kvadratne funkcije sadrži promenljivu x, njen kvadrat i slobodan član, tj. glasi: y = ax2 + bx + c odnosno f(x) = ax2 + bx + c. Broj a određuje da li će parabola biti otvorena na gore (a > 0, „srećna“) ili na dole (a < 0, „tužna“). Broj c se zove slobodan član i predstavlja tačku preseka prave i y-ose. Teme parabole je minimum, odnosno maksimum funkcije i ima x-koordinatu -b/(2a). Rešenja kvadratne jednačine y = 0, tj. f(x) = 0 su nule funkcije, odnosno preseci sa x-osom.

Primer 1: Neka je data funkcija f(x) = x2 – 4x + 3. Nacrtati grafik i ispitati funkciju.

Rešenje:

Domen ove funkcije je skup svih realnih brojeva.

Za kodomen nam trebaju koordinate temena. x-koordinata je 2, a y-koordinatu dobijamo iz jednačine: y = 22 – 4 · 2 + 3 = 4 – 8 + 3 = -1. Dakle, kodomen je interval [-1, +∞).

Funkcija seče y-osu u tački (0, 3) i ima nule u tačkama (1, 0) i (3, 0). Na intervalu (-∞, 1) U (3, +∞) je pozitivna, a na (1, 3) je negativna.

Funkcija je opadajuća za x < 2, a rastuća za x > 2. U tački T(2, -1) ima minimum.

Funkcija je konveksna („srećna“).

Primer 2: Neka je data funkcija f(x) = -2x2 + 2. Nacrtati grafik i ispitati funkciju.

Rešenje:

Domen ove funkcije je skup svih realnih brojeva.

Za kodomen nam trebaju koordinate temena. x-koordinata je 0, a y-koordinatu dobijamo iz jednačine: y = -2 · 02 + 2 = 2. Dakle, kodomen je interval [-∞, 2).

Funkcija seče y-osu u tački (0, 2) i ima nule u tačkama (-1, 0) i (1, 0). Na intervalu (-∞, -1) U (1, +∞) je negativna, a na (-1, 1) je pozitivna.

Funkcija je opadajuća za x > 0, a rastuća za x < 0. U tački T(0, 2) ima maksimum.

Funkcija je konkavna („tužna“).

Primer 3: Neka je data funkcija f(x) = x2 + 4x + 4. Nacrtati grafik i ispitati funkciju.

Rešenje:

Domen ove funkcije je skup svih realnih brojeva.

Za kodomen nam trebaju koordinate temena. x-koordinata je 2, a y-koordinatu dobijamo iz jednačine: y = 22 – 4 · 2 + 5 = 4 – 8 + 5 = 1. Dakle, kodomen je interval [1, +∞).

Funkcija seče y-osu u tački (0, 5) i nema nule. Uvek je pozitivna.

Funkcija je opadajuća za x < 2, a rastuća za x > 2. U tački T(2, 1) ima minimum.

Funkcija je konveksna („srećna“).

Zadaci za vežbu: (preuzeti iz „Krugove zbirke“ za četvrti razred)

Skicirati grafike i ispitati funkcije:

  1. y = ½x²
  2. y = -x² + 1
  3. y = x² – 3x + 2
  4. y = -x² + 2x + 3

7 komentara »

  1. Одлични су чланци! У овом чланку, свиђају ми се описи „срећна“ и „тужна“. Иначе, ученици када у четвртој години праве табеле другог извода, исте те ознаке у посљедњем реду табеле читају „смајлић“ и „тужић“. Такође, када праве скицу графика и одређују знак квадратне функције у другој години воле да ознаке „+“ и „-“ читају „плусићи“ и „минусићи“.

    Komentar od Синиша Бубоња — 20. decembar 2011. @ 8:03 pm | Odgovor

    • Hvala. Trudim se da učenicima približim gradivo što je moguće više, pogotovu na blogu, gde ne mogu da „vidim“ da li su objašnjenje shvatili ili ne.🙂

      Komentar od jelena100janovic — 21. decembar 2011. @ 11:13 am | Odgovor

  2. kako se napamet racuna x1 i x2?

    Komentar od Ucenik — 9. septembar 2013. @ 6:21 pm | Odgovor

    • To može kod „lepih“ rešenja🙂 Pomažu Vietove formule:
      {{x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a}}
      {{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}}
      Na primer, u trećem zadatku za vežbu je proizvod rešenja 2, a zbir 3. To su, znači 1 i 2.
      U četvrtom zadatku je proizvod -3, a zbir 2. To su 3 i -1.

      Komentar od jelena100janovic — 10. septembar 2013. @ 6:55 am | Odgovor

      • da ali kada ste dobili da je proizvod 2, a zbir 3 kako ste znate da je x1= 1, a drugi x je 2?

        Komentar od Ucenik — 10. septembar 2013. @ 6:53 pm

  3. Hajde, pogledaj primer, pogledaj Vietove formule, odredi šta su a, b i c, pa razmisli🙂 Sve piše😉

    Komentar od jelena100janovic — 11. septembar 2013. @ 7:10 am | Odgovor

    • nikad ne bi skontao da nisam video da je bx ustvari x1+x2, a c=x1*x2

      Komentar od Ucenik — 15. septembar 2013. @ 12:56 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: