On-line učionica

12. decembar 2011.

Binomni razvoji i binomna teorema

Filed under: Matematika,Uvod u analizu — jelena100janovic @ 9:49 am

Razviti binom znači pomnožiti sve faktore. Rezultujući polinom je u standardnoj formi. Na primer:

(x + y)2 = (x + y)(x + y) = x2 + xy + xy + y2 = x2 + 2xy + y2

Ako razvijemo (x + y)3, dobijamo:

(x + y)3 = (x + y)(x + y)(x + y) = (x + y)(x2 + 2xy + y2) = x3 + 2x2y + xy2 + x2y + 2xy2 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Primetite da koeficijenti svakog od polinoma odgovaraju redu Paskalovog trougla. Takođe primetite da se eksponenti od x smanjuju, a eksponenti od y povećavaju sa svakim članom. To su glavne osobine Binomne teoreme.

Binomna teorema

Binomna teorema se može iskazati korišćenjem sume:

Ovo je veoma sažet način prikazivanja pravila za binomni razvoj. Vratimo se na (x + y)3 da bi videli kako teorema funkcioniše.

Ponovo, eksponenti od x se smanjuju od 3 do 0. Eksponenti od y rastu od 0 do 3. Koeficijenti članova odgovaraju trećem redu Paskalovog trougla. Ovi koeficijenti se, logično, nazivaju binomni koeficijenti!

Pomoću ove teoreme, možemo razviti bilo koji binom bez množenja svih faktora. Možemo takođe odrediti određeni član u binomnom razvoju.

Razvoj, članovi i koeficijenti u binomnom razvoju

Kao što je napomenuto iznad, binomna teorema nam omogućava da razvijamo stepene binoma. Do sada smo radili samo sa binomom (x + y)n, ali dva člana binoma mogu biti proizvoljni monomi.

Primer 1: Upotrebite binomnu teoremu da bi razvili sledeće polinome:

a) (2x + a)4

b) (x – 3)5

Rešenje:

a) (2x + a)4 = 1(2x)4a0 + 4(2x)3a1 + 6(2x)2a2 + 1(2x)°a4 = 16x4 + 32x3a + 24x2a2 + 8xa3 + a4

Primetite da je lakše koristiti brojeve iz odgovarajućeg reda trougla nego pisati sve koeficijente kao kombinacije. Međutim, ako je n veliko, može biti lakše koristiti kombinacije.

b) (x – 3)5 = 1x5(-3)° + 5x4 (-3)1 + 10x3(-3)2 + 10x2(-3)3 + 5x1(-3)4 + 1x°(-3)5 = x5 – 15x4 + 90x3 – 270x2 + 405x – 243

Primetite da u ovom razvoju, članovi naizmenično menjaju znakove. Ovo je slučaj jer je drugi član binoma -3. Kada razvijate ovu vrstu polinoma, pazite na minuse!

Takođe možemo koristiti binomnu teoremu da bi odredili određeni član ili koeficijent.

Primer 2: Odredite treći član razvoja (2x + 3)6.

Rešenje: Treći član je

Zapamtite da šesti red Paskalovog trougla počinje sa k = 0, pa je koeficijent trećeg člana razvoja sa k = 2. Takođe zapamtite da isto uvrstite u stepene od 2x i 3.

Zadaci za vežbu

  1. Razvijte (x + 3a)4.
  2. Razvijte (y + ½)5.
  3. Razvijte (2x – a)6.
  4. Nađite treći član u razvoju (3x + 2a)9.
  5. Nađite sedmi član u razvoju (4x – ½a)10.

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: