On-line učionica

11. decembar 2011.

Početne ideje: faktorijeli, kombinacije i Paskalov trougao

Filed under: Matematika,Uvod u analizu — jelena100janovic @ 4:20 pm

Podsetimo se da je faktorijel prirodnog broja n proizvod broja n i svih prirodnih brojeva manjih od n. Ovo pišemo kao n! = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3 · 2 · 1.

Da bi izveli Binomnu teoremu, moramo se pozabaviti sličnom idejom: kombinacijama. Kombinacije su broj načina na koje možete izabrati k objekata iz grupe od n objekata, ako redosled biranja nije bitan. Jedan primer će Vam pomoći da lakše razumete ideju kombinacija:

U razredu od 19 učenika, biraju se 3 da bi predstavljali razred na sastanku povodom ekskurzije. Koliko mogućih delegacija postoji?

Da bi odgovorili na ovo pitanje, treba da otkrijemo na koliko načina možemo izabrati grupe od 3 učenika od 19 u razredu. Redosled biranja nije bitan. To jest, ako izaberemo Aleksandra, Marka i Nikolu, to je isto kao da smo izabrali Marka, onda Aleksandra, onda Nikolu, ili bilo koji drugi raspored tri učenika.

Uopšte, možemo naći broj kombinacija k objekata izabranih među n objekata na sledeći način:

Dakle broj kombinacija od 3 učenika od 19 učenika u razredu je

Napomena o računanju kombinacija: Najlakše je svesti na poslednji razlomak u gornjem računanju, a onda upotrebiti digitron. Na primer,

će imati 4 činioca iznad i 4 činioca ispod razlomačke crte. Brojilac će počinjati od 7, a imenilac od 4:

Sada nam je lakše da upotrebimo digitron… Trebalo bi da dobijete 35.

Postoji određeno pravilo u kombinacijama koje se sreće kod razvijanja polinoma oblika (x + y)n. Ovo pravilo se najčešće prikazuje u obliku trougla:

Ako izračunamo vrednosti u trouglu, dobićemo:

Ovaj trougao se zove Paskalov trougao. Dobio je ime po matematičaru Blezu Paskalu (Blaise Pascal), iako su i drugi matematičari pre njega radili sa ovim brojevima. Brojevi u trouglu se mogu koristiti za generisanje novih redova: primetite da ako saberete dva susedna broja, dobićete broj između njih u redu ispod:

Ovu osobinu možemo generalizovati na sledeći način:

Zadaci za vežbu

  1. Izračunajte broj kombinacija:  a) n =8, k = 5;  b) Biramo 3 od 6.
  2. Iz generacije od 200 učenika, 25 će biti izabrano slučajno da bi popunili neku anketu. Koliko mogućih grupa po 25 učenika može biti izabrano?

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: