On-line učionica

17. novembar 2011.

Još malo primene kvadratne funkcije

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 12:38 am

Iz drugih predmeta ste učili da predmet koji bacite pada pod uticajem gravitacije. Jednačina koja opisuje njegovu visinu u funkciji vremena je data sa:

gde h0 predstavlja početnu visinu predmeta, a g je gravitaciono ubrzanje Zemlje, koje je približno jednako -10 m/s2.

Sa druge strane, ako je objekat bačen pravo u vis ili pravo na dole, onima početnu vertikalnu brzinu. Ovaj izraz se obično obeležava sa v0y. Njena vrednost je pozitivna, ako se predmet baca na gore, a negativna ako se predmet baca na dole. Jednačina za visinu predmeta je u ovom slučaju

Uključivanjem odgovarajuće vrednosti za g dobijamo jednačinu h = -5t2 + v0yt + h0.

Primer 1: Strelac je odapeo strelu pravo u vis sa visine od 4,05 m sa početnom brzinom od 40 m/s.

a) Kolika će biti visina strele 3 sekunde nakon što je odapeta? A nakon 6 sekundi?

b) U kom trenutku će strela pasti na zemlju?

c) Koja je maksimalna visina koju će dostići strela i u kom trenutku će se to desiti?

Rešenje: Upotrebićemo jednačinu h = -5t2 + v0yt + h0.

Znamo da je v0y = 40 m/s i h0 = 4,05 m, pa: h = -5t2 + 40t + 4,05.

Ako nacrtamo grafik visine strele u odnosu na vreme, dobićemo konkavnu parabolu (a = -5 < 0).

a) Da bi našli visinu strele nakon 3 sekunde zamenićemo t = 3:

h = -5 × 32 + 40 × 3 + 4,05 = -5 × 9 + 120 + 4,05 = -45 + 124,05 = 79,05 metara

Ako zamenimo t = 6:

h = -5 × 62 + 40 × 6 + 4,05 = -5 × 36 + 240 + 4,05 = -180 + 244,05 = 64,05 metara

b) Visina strele na zemlji je h = 0, pa: 0 = -5t2 + 40t + 4,05. Rešimo jednačinu:

 

 

Strela će pasti na zemlju 8,1 sekundu nakon što je odapeta.

c) Maksimalna visina i vreme kada se pojavljuje je u stvari teme parabole.

Napisaćemo jednačinu u kanonskom obliku:

h = -5t2 + 40t + 4,05

h = -5(t2 – 8t) + 4,05

h = -5(t2 – 2 × 4t + 42) + 5 × 42 + 4,05

h = -5(t – 4)2 + 84,05

Teme je (4, 84,5). Drugim rečima, kada je t = 4 sekunde, visina je 84,5 metara.

Još jedna vrsta tekstualnih zadataka koji se može rešiti korišćenjem kvadratne funkcije je onaj u kome se dva objekta udaljavaju u međusobno normalnim pravcima. Evo primera zadatka tog tipa.

Primer 2: Dva automobila napuštaju raskrsnicu. Jedan auto je nastavio pravo, a drugi je skrenuo desno. Kada je auto koji putuje pravo prešao 30 km, rastojanje među automobilima je bilo za 30 km manje nego dvostruko rastojanje koje je prešao auto koji je skrenuo desno. Nađite rastojanje među automobilima u tom trenutku.

Rešenje: Neka je x rastojanje koje je prešao auto koji je skrenuo desno.

Onda je 2x – 30 rastojanje između dva automobila.

Nacrtajmo skicu:

 

Možemo upotrebiti Pitagorinu teoremu da bi našli jednačinu za x:

x2 + 302 = (2x – 30)2

Kvadrirajmo binom i uprostimo:

x2+ 900 = 4x2 – 120x + 900

0 = 3x2 – 120x

Rešimo:

0 = 3x(x – 40)

3x = 0 ili x – 40 = 0

x = 0 ili x = 40

Obzirom da rešenje x = 0 nema smisla ovde, rastojanje između dva automobila je 2 × 40 – 30 = 50 kilometara.

16 komentara »

  1. Jako je važno da se učenicima matematika približi kroz praktične primere. A ovo je jedan jako lepo opisan primer🙂

    Komentar od racunarstvoiinformatika — 18. novembar 2011. @ 10:51 pm | Odgovor

  2. Da li je neko u mogucnosti da rijesi par tekstualnih zadataka kvadratnih jednacina za 2 razred srednje skole.

    Komentar od Ana — 25. februar 2012. @ 6:13 pm | Odgovor

    • Postavi tekst zadatka u komentar (jedan komentar – jedan zadatak), pa ćemo videti…

      Komentar od jelena100janovic — 25. februar 2012. @ 6:23 pm | Odgovor

  3. Cifra desetica dvocifrenog broja je za 2 veca od cifre jedinica. Ako se taj broj podjeli zbirom njegovih cifara dobija se kolicnik za 40 manji od broja napisanog istim zciframa obrnutim redom i ostatak 4. Odredi taj broj.

    Eto to je prvi zadatak.

    Komentar od Ana — 25. februar 2012. @ 6:29 pm | Odgovor

    • Uh… težak zadatak, jer su ružni brojevi i ružna kvadratna jednačina na kraju😦

      No, evo: Označićemo cifre tog broja sa a i b, broj će biti 10a + b, a broj obrnutim ciframa je 10b + a.
      Prvo, dobro pročitamo tekst „Cifra desetica dvocifrenog broja je za 2 veca od cifre jedinica.“ je lako: a = b + 2
      „Ako se taj broj podjeli zbirom njegovih cifara dobija se kolicnik za 40 manji od broja napisanog istim zciframa obrnutim redom i ostatak 4“ je malo teže…
      Treba prvo da znamo da se deljenje sa ostatkom označava ovako B = k d + o, gde je B broj koji delimo, k količnik koji se dobija, d delilac i o ostatak.
      Sada postavljamo jednačinu: 10a + b = (10b + a – 40) (a + b) + 4
      Zamenimo b + 2 umesto a: 10(b + 2) + b = (10b + b + 2 – 40) (b + 2 + b) + 4
      Sredimo i dobijamo „ružnu“ kvadratnu jednačinu: 22b^2 – 65b – 92 = 0
      Rešimo i dobijamo rešenja: b1 = 4 i b2 neki negativan broj, koji je glupo i računati, jer je b cifra, pa mora biti pozitivan.
      Dakle, b = 4, a = 4 + 2 = 6, to jest, traženi broj je 64.

      Komentar od jelena100janovic — 25. februar 2012. @ 7:02 pm | Odgovor

  4. Ako hocete da napisem ih sve, ili ovako jedan po jedan?

    Komentar od Ana — 25. februar 2012. @ 6:55 pm | Odgovor

    • Vidi da li razumeš i umeš li da uradiš sada prvi zadatak sama… Možda imaš potpitanja…
      Što se ostalih zadataka tiče, ja ću sada pozvati ostale đake koji vršljaju ovuda da i oni malo uključe glavice i pomognu drugarici😉

      Komentar od jelena100janovic — 25. februar 2012. @ 7:05 pm | Odgovor

  5. Jasnije mi je sada, mislim da mogu sama uraditi i jos cu ja to malo provjezbati :))) Hvala ti :))

    Komentar od Ana — 25. februar 2012. @ 7:26 pm | Odgovor

  6. Evo sledeci :

    Dva planinara su isovremeno krenuli na kotu udaljenu 30km id njih. jedan planinar prelazi 1km vise na sat od drugog planinara i zbog toga stize na kotu jedan sat ranije. Koliko kilometara na sat prelazi svaki planinar?

    Komentar od Ana — 25. februar 2012. @ 7:28 pm | Odgovor

  7. Naci dvocifren broj cija je cifra jedinica za 1 veca od cifre desetica, a proizvod trazenog broja i zbira njegovih cifara jednak je 616.

    Komentar od Ana — 26. februar 2012. @ 1:50 pm | Odgovor

    • Ana, hajde malo uključi mozak… Ovaj zadatak je sličan prvom, samo lakši! Uradi ga sama. Sigurna sam da možeš!😀

      Komentar od jelena100janovic — 26. februar 2012. @ 9:50 pm | Odgovor

  8. Dvije slavine pune bazen za 15/8 casa, a jedna slavina moze sama da napuni isti bazen za dva sata brze od druge. Za koje vrijeme svaka slavina posebno moze da napuni bazen?

    Komentar od Ana — 26. februar 2012. @ 1:52 pm | Odgovor

  9. Eto ako ko moze ovo da uradi do utorka mi treba, unaprijed hvala🙂

    Komentar od Ana — 26. februar 2012. @ 1:56 pm | Odgovor

  10. Sada i ja radim zadatak sa planinarima… Dosao sam do toga da kad je prvi planinar (brzi) stigao do cilja, drugi je bio iza njega jedno 2016 metara. Do toga sam dosao posto znam da 1km/h iznosi 0.56m/s, pa se onda to zameni kod brzine drugog putnika: V2=s/t1+3600s /*Ovaj putnik stize jedan sat posle prvog putnika, pa zato t1 + 3600s */. Inace, zamenio sam tamo vrednosti i dobio da je 30000/t1+2016m. Ne znam koliko je to dobro, a odavde ne znam dalje. Pretpostavljam da brzina prvog iznosi 15 ili 16m/s…🙂

    Komentar od Filip Petrovic — 27. februar 2012. @ 11:40 pm | Odgovor

    • Filipe sve si dobro uradio i postavio samo nisi smeo da ubaciš m/s. Ceo zadatak je sa km/h.
      Dakle, imaš V2 = s / t1 + 1 i t2 = t1 + 1. Još samo zameniš V2 i dobićeš kvadratnu jednačinu…
      Hajde, sada probaj😉

      Komentar od jelena100janovic — 28. februar 2012. @ 1:04 am | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: