On-line učionica

10. novembar 2011.

Kanonski oblik kvadratne funkcije

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 3:00 pm

Sećate li se da ako imate kvadratnu jednačinu oblika (x – 2)2 = 5, možete je lako rešiti korenovanjem obe strane:

x – 2 = √5 i x – 2 = -√5

Uprošćavanjem dobijate:

x = 2 + √5 ≈ 4,24 i x = 2 – √5 ≈ -0,24

A šta raditi sa jednačinama koje nisu napisane u ovom lepom obliku? U ovom članku, naučićete kako da pretvorite bilo koju kvadratnu jednačinu u ovaj oblik dopunom do potpunog kvadrata.

Dopuna do potpunog kvadrata Vam dozvoljava da napišete kvadratni trinom tako da sadrži potpuni kvadrat koji možete faktorisati u obliku kvadrata binoma.

Setite se da kvadrat binoma izgleda ovako:

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 ili (x – y)2 = x2 – 2xy + y2

Znači da bi imali potpun kvadrat, trebaju nam dva člana koji su kvadrati i jedan član koji je dvostruki proizvod članova koje kvadriramo.

Primer 1: Dopunite potpuni kvadrat x2 + 4x.

Rešenje: Da bi dopunili kvadrat treba nam broj koji pretvara izraz u potpun kvadrat. Obzirom da jesrednji član u potpunom kvadratu uvek 2 puta proizvod članova koji se kvadriraju, napisaćemo naš izraz kao:

x2 + 2 · 2 · x

Sada vidimo da broj koji tražimo mora biti 22:

x2 + 2 · 2 · x + 22

Ovo se faktoriše kao: (x + 2)2

Primetite, međutim, da smo upravo promenili vrednost celog izraza dodajući mu 4. Da je to bila neka jednačina, morali bismo i da oduzmemo 4 da bi to nadoknadili.

Takođe, ovo je bio relativno lak primer jer je a, koeficijent uz x2, bilo 1. Kada taj koeficijent nije jednak 1, moramo da ga izvučemo ispred zagrade da bi dopunili kvadrat.

Primer 2: Dopunite potpuni kvadrat 4x2 + 32x.

Rešenje: Izvucite koeficijent od x2 ispred zagrade: 4(x2 + 8x)

Sada dopunite kvadrat izraza u zagradama.

Napišite drugačije izraz: 4(x2 + 2 · 4 · x)

Dopunimo kvadrat dodavanjem broja 42: 4(x2 + 2 · 4 · x + 42)

Faktorišite kvadrat binoma u zagradama: 4(x + 4)2

Izraz „dopuna kvadrata“ dolazi od geometrijske interpretacije ove situacije. Hajde da ponovo pogledamo kvadratni izraz u primeru 1: x2 + 4x.

Možemo posmatrati ovaj izraz kao zbir tri površine. Prvi član predstavlja površinu nekog kvadrata stranice x. Drugi član predstavlja površine dva pravougaonika dimenzija 2 i x:

Možemo poređati ove oblike na sledeći način:

Dobili smo kvadrat koji nije potpun. Da bi dopunili kvadrat, treba nam manji kvadrat dužine stranice 2.

Dobili smo kvadrat stranice dužine (x + 2); njegova površina je dakle (x + 2)2.

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: