On-line učionica

4. novembar 2011.

Crtanje grafika kvadratne funkcije pomoću preseka sa osama

Filed under: II razred,Matematika — jelena100janovic @ 11:37 pm

Vreme je da pogledamo kako da nacrtamo parabolu bez potrebe za korišćenjem tablice sa velikim brojem tačaka.

Pogledajmo grafik y = x2 – 6x + 8.

Nule

Ima nekoliko stvari koje možemo da primetimo:

Parabola preseca x osu u dvema tačkama: x = 2 i x = 4. Ove tačke se zovu nule parabole (na crtežu su žute). Najniža tačka parabole se pojavljuje u (3, -1).

  • Ova tačka se zove teme parabole (na crtežu je zelena).
  • Teme je najniža tačka na svakoj paraboli koja je srećna, ili najviša tačka na svakoj paraboli koja je tužna.
  • Teme je tačno na pola puta između dve nule. Ovo će uvek biti slučaj, pa možemo naći teme koristeći to svojstvo.

Parabola je simetrična. Ako nacrtate vertikalnu liniju kroz teme, videćete da se dve polovine parabole preslikavaju preko nje. Ova vertikalna linija se zove osa simetrije (na crtežu je crvena).

Rekli smo da je opšti oblik kvadratne funkcije y = ax2 + bx + c. Ovaj oblik je veoma koristan jer je iz njega lako naći nule i teme parabole. Nule su vrednosti x za koje grafik seče x osu; drugim rečima, one su vrednosti x kada je y = 0. Da bi našli nule kvadratne funkcije, postavljamo y = 0 i rešavamo: ax2 + bx + c = 0.

Dobićemo rešenja x1 i x2.

Dakle nule su u tačkama (x1, 0) i (x2, 0).

Kada nađemo nule, lako je naći teme. Vrednost x temena je na pola puta između dve nule, pa je možemo naći kao prosek dve vrednosti: (x1 + x2) / 2. Onda možemo naći y vrednost zamenjujući vrednost x nazad u funkciju.

Primer 1: Nađite nule i teme sledećih kvadratnih funkcija:

a) y = x2 – 8x + 15

b) y = 3x2 + 6x – 24

Rešenje:

a) Rešite jednačinu x2 – 8x + 15 = 0. Rešenja su 5 i 3.

Znači nule su (5, 0) i (3, 0).

Teme je na pola puta između dve nule. Nalazimo x vrednost kao prosek 5 i 3: x = 4.

Nađite y vrednost zamenjujući x vrednost koju ste upravo našli u originalnu funkciju:

y = x2 – 8x + 15y = 42 – 8 · 4 + 15 = 16 – 32 + 15 = -1

Znači teme je (4, -1).

b) Rešite jednačinu 3x2 + 6x – 24 = 0. Rešenja su x = -4 i x = 2.

Nule su (-4, 0) i (2, 0).

Za teme, x = (-4 + 2) / 2 = -1 i y = 3 · (-1)2 + 6 · (-1) – 24 = 3 – 6 – 24 = -27.

Teme je (-1, -27).

Lociranje temena i nula je koristan prvi korak ka lakšem crtanju kvadratne funkcije. Lokacija temena nam govori gde je sredina parabole. Kada pravimo tablicu vrednosti, možemo obavezno da izaberemo teme kao tačku u tablici. Onda biramo nekoliko manjih i većih vrednosti x. Na ovaj način, dobijamo tačan grafik kvadratne funkcije bez potrebe da imamo previše tačaka u tablici.

Primer 2: Nađite nule i teme. Koristite ove tačke da biste napravili tablicu vrednosti i nacrtali svaku od funkcija.

a) y = x2 -4

b) y = -x2 + 14x – 48

Rešenje:

a) Nađite nule i teme: rešite jednačinu x2 -4 = 0. Rešenja su x = 2 i x = -2.

Nule su (2, 0) i (-2, 0). Nađite teme: x = (2 – 2) / 2 = 0y = 02 – 4 = -4.

Teme je (0, -4).

Napravite tablicu vrednosti koristeći teme kao srednju tačku. Izaberite nekoliko vrednosti x manjih i većih od x = 0. Uključite nule u tablicu.

x -3 -2 (nula) -1 0 (teme) 1 2 (nula) 3
y = x2 – 4 5 0 -3 -4 -3 0 5

Onda nacrtajte grafik:

b) Nađite nule i teme: rešite jednačinu -x2 + 14x – 48 = 0. Rešenja su x = 6 i x = 8.

Nule su (6, 0) i (8, 0).

Nađite teme: x = 7, y = -72 + 14 · 7 – 48 = 1.

Teme je (7, 1).

Napravite tablicu vrednosti koristeći teme kao srednju tačku. Izaberite nekoliko vrednosti x manjih i većih od x = 7. Uključite nule u tablicu.

x 4 5 6 (nula) 7 (teme) 8 (nula) 9 10
y = x2 – 4 -8 -3 0 1 0 -3 -8

Onda nacrtajte grafik:

3 komentara »

  1. Veoma lepo uradjeno.

    Svaka cast.

    Komentar od sasamihajlovic — 20. decembar 2011. @ 11:12 am | Odgovor

  2. […] kvadratne funkcije 1 2 […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za drugi razred | On-line učionica — 3. januar 2016. @ 5:27 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: