On-line učionica

31. oktobar 2011.

Prepoznavanje funkcija

Filed under: IV razred,Matematika — jelena100janovic @ 12:13 pm

Razmotrite sledeće dve situacije:

Situacija 1: Prodajete igračkice kao deo projekta učeničkog parlamenta. Svaka igračkica košta 300 dinara.

Situacija 2: Sakupljate podatke od nekoliko učenika u svom razredu o njihovim godinama i visini: (19, 186 cm), (18, 176 cm), (17, 186 cm), (18, 186 cm), (19, 176 cm).

U prvoj situaciji, neka promenljiva x predstavlja broj igračkica koje ste prodali, a y neka predstavlja iznos koji ste zaradili. Ako prodate x igračkica, zaradićete y = 300x dinara. Na primer, ako prodate 25 igračkica, zaradićete 300 · 25 = 7500 dinara. Primetite da možete da koristite broj prodatih igračkica da bi „predvideli“ koliko novca ćete zaraditi.

Sada razmotrite drugu situaciju. Možete li da koristite podatke da bi predvideli visinu,  ako su vam poznate godine?

Ovo neće biti slučaj u drugoj situaciji. Na primer, ako učenik ima 18 godina, postoji nekoliko mogućih visina.

Prva situacija je primer funkcije, a drugi primer nije funkcija. Hajde da se podsetimo kako se prepoznaju matematičke relacije koje jesu funkcije i da ih opišemo na određene načine. Hajde da se kroz ovu seriju članaka podsetimo onoga što znamo o nekim vrstama funkcija.

Relacije i funkcije

Obe situacije iznad su relacije. Relacija je prosto veza između dva skupa brojeva ili podataka. Na primer, u drugoj situaciji, napravili smo vezu između učeničkih godina i visina, samo pišući informacije o svakom učeniku kao uređeni par. U prvoj situaciji, postoji veza između broja igračkica kojeste prodali i iznosa koji ste zaradili. Prvi primer se razlikuje od drugog jer predstavlja funkciju: svako x je upareno sa samo jednim y.

Funkciju možemo predstaviti na mnogo načina. Neki od najčešćih načina predstavljanja funkcija uključuju: skupove uređenih parova, jednačine i grafike. Ispod možete videti istu funkciju prikazanu na svaki od ovih načina:

Skup uređenih parova: {(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)} (podskup skupa uređenih parova za ovu funkciju)

Jednačina: y = 3x

Grafik:

Nasuprot tome, relacija prikazana ispod nije funkcija:

Skup uređenih parova: {(4, 2), (4, -2), (9, 3), (9, -3)} (podskup skupa uređenih parova za ovu relaciju)

Jednačina: x = y2

Grafik:

Da bi potvrdili da ova relacija nije funkcija, moramo pokazati da je bar jedna x vrednost uparena sa više od jedne y vrednosti. Ako pogledate prvi način predstavljanja, skup uređenih parova, možete videti da je 4 uparena sa 2 i sa -2. Slično, 9 je uparena sa 3 i sa -3. Zato relacija nije funkcija. Teže je prepoznati funkciju iz jednačine, sem ako niste upoznati sa različitim vrstama jednačina. (Ako niste, bićete do kraja ove serije članaka!) Ako pogledamo grafik iznad, možemo videti da, osim za x = 0, x vrednosti relacije su sve uparene sa po dve y vrednosti. Zato ova relacija nije funkcija.

Jedan način određivanja da li je relacija funkcija kada gledamo grafik je „povlačenjem uspravnih linija“. Ako uspravna linija može biti povučena bilo gde na grafiku tako da preseca relaciju na dva mesta, onda relacija nije funkcija. Ako će sve moguće uspravne linije seći relaciju na jednom mestu, onda relacija jeste funkcija. Ovo je moguće jer ako uspravna linija preseče relaciju na više od jednog mesta to znači da moraju da postoje dve y vrednosti koje odgovaraju jednoj x vrednosti u toj relaciji. Na primer, grafik od y = 3x pokazuje da je to funkcija jer bilo koja uspravna linija koja se povuče seče relaciju samo na jednom mestu.

Suprotno, grafik od x = y2 pokazuje da to nije funkcija jer može da se povuče uspravna linija koja seče ovu relaciju na dva mesta.

Primer 1: Odredite da li je relacija funkcija ili nije

a) {(2, 4), (3, 9), (5, 11), (5, 12)}

b) {(-4, 8), (-2, 6), (0, 5), (3, 6), (5 ,5), (7, -1)}

Rešenje:

a) Ova relacija nije funkcija jer je 5 upareno sa 11 i sa 12.

b) Ova relacija jeste funkcija jer je svako x upareno sa samo jednim y.

Kada naučite da odredite da li je relacija funkcija, trebalo bi da umete da kažete kom skupu pripadaju x vrednosti, a kom y vrednosti funkcije. Dalje ćemo definisati ove skupove kao domen i kodomen funkcije i pogledaćemo neke specifične primere funkcija i njihovih domena i kodomena.

Nezavisna promenljiva, domen

Domen funkcije je definisan kao skup svih vrednosti x za koje je funkcija definisana. Na primer, domen funkcije y = 3x je skup svih realnih brojeva, često označen sa R. Ovo znači da x može biti bilo koji realan broj. Druge funkcije imaju ograničene domene. Na primer, domen funkcije y = √x je skup svih realnih brojeva većih ili jednakih nuli. Domen ove funkcije je ograničen na ovaj način jer kvadratni koren negativnog broja nije realan broj. Zato, domen je ograničen na nenegativne vrednosti za x da bi vrednosti funkcije bile definisane.

Često je lako odrediti domen funkcije razmatrajući koja ograničenja mogu biti ili čitajući sa grafika. Na primer, možemo videti da funkcija y = √x, prikazana na grafiku ispod, ima za domen sve realne brojeve veće ili jednake nuli jer grafik postoji samo za x vrednosti koje su veće ili jednake nuli.

Primer 2: Nađite domen svake od funkcija:

a) y = x2

b) y = 1 / x

c) {(2, 4), (3, 9), (5, 11)}

Rešenje:

a) Domen ove funkcije je skup svih realnih brojeva. Nema ograničenja.

b) Domen ove funkcije je skup svih realnih brojeva osim x = 0. Domen je ograničen na ovaj način jer deljenje nulom nije definisano.

c) Domen ove funkcije je skup x vrednosti: {2, 3, 5}.

Promenljiva x se često naziva nezavisna promenljiva, dok se promenljiva y naziva zavisna promenljiva. Govorimo o x i y na ovaj način jer y vrednosti funkcije zavise od toga šta su x vrednosti. Ovo je takođe razlog što kažemo „y je funkcija od x„. Na primer, vrednost za y u funkciji y = 300x zavisi od toga šta uzmemo za vrednost od x. Ako je x = 4, možemo lako odrediti da je y = 300 · 4 = 1200. Vraćajući se na situaciju iz uvoda, možemo reći da iznos koji zaradite zavisi od broja igračkica koje prodate.

Kada radimo sa funkcijom u obliku jednačine, postoji posebna oznaka koju možemo koristiti da bi istakli činjenicu da je y funcija od x. Na primer, jednačina y = 3x se takođe može napisati kao f(x) = 3x. Važno je zapamtiti da f(x) predstavlja y vrednosti, ili vrednosti funkcije, i da slovo f nije promenljiva.

Sada kada smo razmotrili domen funkcije, preći ćemo na kodomen.

Zavisna promenljiva, kodomen

Kodomen funkcije je definisan kao skup svih vrednosti y za koje je funkcija definisana. Kao što smo uradili sa domenom, možemo ispitati funkciju i odrediti njen kodomen. Ponovo, često pomaže razmišljati o tome kakva ograničenja mogu da postoje, i kako izgleda grafik funkcije. Razmotrite na primer funkciju y = x2. Domen ove funkcije je R, svi realni brojevi, ali šta je sa kodomenom?

Kodomen funkcije je skup svih realnih brojeva većih ili jednakih nuli. Tako je jer je svaka y vrednost kvadrat neke x vrednosti. Ako kvadriramo pozitivne i negativne brojeve, rezultat će uvek biti pozitivan. Ako je x = 0, onda je y = 0. Takođe možemo videti kodomen ako pogledamo grafik od y = x2. Primetite dole kako su y vrednosti sve veće ili jednake nuli.

Primer 3: Nađite domen i kodomen funkcije y = 2 / x.

Rešenje: Za ovu funkciju, možemo izabrati bilo koju x vrednost osim x = 0. Zato je domen ove funkcije skup svih realnih brojeva osim x = 0.

Kodomen je takođe ograničen na ne-nula realne brojeve, ali iz drugih razloga. Obzirom da je brojilac razlomka 2, on ne može biti nula, pa ni razlomak ne može biti nula.

Sada kada smo definisali šta znači da je relacija funkcija, i definisali domen i kodomen funkcije, možemo pogledati neke specifične primere funkcija i njihovih grafika.

Realne vrednosti, intervali

Funkcija se definiše kao realna funkcija ako su i domen i kodomen skupovi realnih brojeva. Mnoge funkcije koje ste verovatno ranije sreli su realne funkcije, i mnoge od njih imaju domen R. Razmotrite, na primer, funkciju y = 3x. Grafik ove funkcije, prikazan na početku ovog članka, je prikazan ponovo ispod, blago drugačije.

Već ste učili o graficima pravih. Posebno, možda već imate naviku da produžavate grafik prave do ivice koordinatnog sistema. Ovo radimo da bi naglasili da se prava proteže beskonačno na obe strane, čime naglašavamo domen i kodomen. Gornja linija, međutim, prikazuje funkciju y = 3x samo na intervalu [-3, 3]. Srednje zagrade pokazuju da grafik uključuje krajnje tačke intervala x = -3 i x = 3. Ovo zovemo zatvoreni interval. Zatvoreni interval sadrži svoje krajnje tačke. Naprotiv, otvoreni interval ne sadrži svoje krajnje tačke. Označavamo ga malim zagradama. Na primer, (-3, 3) označava skup brojeva između -3 i 3, ne uključujući -3 i 3. Možda ste primetili da oznaka otvorenog intervala izgleda kao oznaka za tačku (x, y) u koordinatnoj ravni. Važno je da pažljivo čitate zadatke da biste izbegli brkanje tačke i intervala!

Dok budete ispitivali funkcije, moguće je da se traži ponašanje funkcije na određenom podskupu domena. Ispod imate pobrojane vrste intervala sa kojima ćete se sretati dok budete ispitivali funkcije i njihove domene:

[a, b] ili a ≤ x ≤ b – vrednost x je između a i b, uključujući a i b.

(a, b) ili a < x < b – vrednost x je između a i b, ne uključujući a i b.

[a, b) ili a ≤ x < b – vrednost x je između a i b, uključujući a, ali ne uključujući b.

(a, b] ili a < x ≤ b – vrednost x je između a i b, ne uključujući a, ali uključujući b.

(a, ∞) ili x > a – vrednost x je strogo veća od a.

[a, ∞) ili x ≥ a – vrednost x je veća ili jednaka a.

(∞, a) ili x < a – vrednost x je strogo manja od a.

(-∞, a] ili x ≤ a – vrednost x je manja ili jednaka a.

Primer 4: Skicirajte grafik funkcije f(x) = x / 2 – 6 na intervalu [-4, 12).

Rešenje

Gore smo razmatrali nekoliko različitih vrsta funkcija. Ako ste poredili grafike funkcija kao što su f(x) = x /2 – 6 i y = x2, možda ste primetili da su oblici grafika prilično različiti. Unekom od kasnijih članaka proučavaćete različite „familije“ funkcija i njihovih grafika. Ovde ćemo razmotriti jedan aspekt funkcija koji zahteva od nas da ispitujemo funkciju na specifičnim intervalima.

Srednja brzina

Razmotrite sledeću situaciju: na sedmodnevnom ste proputovanju sa svojim prijateljem. Kada ste počeli da vozite drugog dana, već ste prešli ukupno 200 kilometara. Posle 6 sati vožnje drugog dana, prešli ste ukupno 500 kimlometara. U proseku, koliko kilometara ste vozili po satu drugog dana puta?

Ova situacija je prikazana na grafiku ispod, gde je na x osi predstavljen broj sati u vožnji (drugog dana), a na y osi broj pređenih kilometara. Prva tačka grafika, (0, 200), govori da je na početku drugog dana već pređeno 200 kilometara. Druga tačka na grafiku, (6, 500), govori da je posle 6 sati vožnje drugog dana ukupno pređeno 500 kilometara.

Primetite da ste ukupno, tokom vaših 6 sati vožnje, prešli 300 kilometara. Brzina kojom ste vozili je 300 kilometara na 6 sati, ili 50 kilometara na sat. Ovu brzinu nazivamo srednja brzina jer je prosečna u 6 sati. To jest, niste obavezno vozili 50 kilometara u svakom satu. Mogao je da bude jedan sat u kome ste prešli 100 kilometara i drugi ukome niste prešli ni jedan kilometar.

Možemo predstaviti srednju brzinu na grafiku ističući koliko se svaka veličina promenila: vrednost y se povećala za Δy = 300, a vrednost x se povećala za Δx = 6. Srednja brzina je odnos promena ovih promenljivih. Tako uopšteno i definišemo srednju brzinu promene:

Možemo proučavati srednju brzinu promene funkcije, bez obzira na to da li je predstavljena podacima, kao u prethodnom primeru, ili jednačinom.

Primer 5: Nađite srednju brzinu promene svake od funkcija na datom intervalu

a) f(x) = x2 na [0, 2]

b) f(x) = 4x na [1, 7]

Rešenje:

a) Krajevi intervala su (0, 0) i (2, 4). Zato je Δy = 4 i Δx =2. Srednja brzina promene je 4 / 2 = 2.

b) Krajevi intervala su (1, 4) i (7, 28). Zato je Δy= 28 – 4 = 24 i Δx = 7 – 1 = 6. Srednja brzina promene je 26 / 6 = 4.

Primetite da je srednja brzina promene funkcije f(x) = 4x koeficijent pravca te prave, 4. Dok linearna funkcija ima konstantan koeficijent pravca, druge funkcije, kao f(x) = x2, nemaju. Istraživaćete ovu ideju detaljnije kada budete učili izvode.

Razmislite o sledećem

  1. Kako se utvrđuje da li je relacija funkcija?
  2. Koje vrste funkcija imaju i domen i kodomen jednak skupu svih realnih brojeva?
  3. U čemu je razlika između srednje brzine promene linearnih i nelinearnih funkcija?

Da proverimo da li ste naučili…

  1. Da li je relacija {(-1, 4), (0, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 15)} funkcija? Šta joj je domen?
  2. Da li je relacija y = x funkcija? Šta joj je domen?
  3. Dajte primer funkcije čiji su domen i kodomen isti.
  4. Napišite interval x>5.
  5. Napišite interval -4 ≤ x < 7.
  6. Skicirajte grafik funkcije f(x) = x – 5 na intervalu [-10, 10].
  7. Izaberite dve tačke na grafiku funkcije f(x) = 2x – 7 i izračunajte srednju brzinu promene. Izaberite druge dve tačke i izračunajte srednju brzinu promene. Uporedite rezultate.
  8. Šta je kodomen funkcije f(x) = ax4 ako je a > 0, a šta ako je a < 0? Pretpostavite da je a > 0. Uporedite srednju brzinu promene na intervalima [0, 1] i [0, 0,1].
  9. Dajte primer relacije koja nije funkcija i objasnite zašto nije funkcija.

1 komentar »

  1. […] Funkcije i relacije […]

    Povratni ping od Sadržaj članaka matematike za četvrti razred | On-line učionica — 12. septembar 2015. @ 9:37 pm | Odgovor


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Blog na WordPress.com.

%d bloggers like this: