On-line učionica

20. oktobar 2011.

Izrazi sa promenljivim

Filed under: Matematika,Osnovnoškolska matematika — jelena100janovic @ 2:32 pm
Tags:

Niko ne voli da rešava isti problem iznova i iznova – zato su matematičari izmislili promenljive. Matematika uzima osnovne principe računa i generalizuje ih, tako da možemo rešiti problem jednom, a onda koristiti to rešenje da bi rešili grupu sličnih problema.

Pri računu, imali ste posla sa brojevima i njihovim aritmetičkim operacijama (kao što su +, -, ·, : ). U matematici, koristimo simbole koji se zovu promenljive (koje su obično slova, kao što su x, y, a, b, c, …) da bi predstavili brojeve i ponekad procese.

Na primer, možemo koristiti slovo x da bi predstavili neki broj koji još ne znamo, koji možemo sada izračunati u toku rešavanja problema. Ili možemo koristiti dva slova, kao x i y, da bi prikazali odnos dva broja bez potrebe da znamo koji su to u stvari brojevi. Ista slova mogu predstavljati širok spektar mogućih brojeva, a isto slovo može predstavljati potpuno različite brojeve kada se koristi u dva različita problema.

Korišćenje promenljivih nudi prednosti nad rešavanjem svakog problema „od nule“. Sa promenljivim, možemo:

  • Formulisati matematičke zakone kao što je a + b = b + a za sve realne brojeve a i b.
  • Predstavljati „nepoznate“ brojeve. Na primer: nađite broj x takav da je 3x + 1 = 10.
  • Pisati kraće funkcionalna predstavljanja kao, „ako prodate x karata, onda će vaš profit biti 30x – 100 dinara“, ili „f(x) = 3x – 10“, gde je „f“ funkcija profita, a x je ulazna vrednost (npr. koliko karata prodate).

Primer 1: Napišite algebarski izraz za obim i površinu pravougaonika.

Rešenje: Da bismo našli obim, sabraćemo dužine sve 4 stranice. Možemo to uraditi iako ne znamo dužine stranica u brojevima, jer možemo koristiti promenljive kao a i b da bi predstavili nepoznatu dužinu i širinu pravougaonika. Možemo početi od gornjeg levog ugla i ići u pravcu kazaljke na satu, i ako upotrebimo slovo O da bi predstavili obim, onda možemo reći: O = a + b + a + b.

Sabiramo 2 a i 2 b, pa možemo reći da je: O = 2 · a + 2 · b.

Uobičajeno je u matematici da se znaci za množenje izostavljaju kad god je to moguće. Na primer, 11x znači istu stvar kao 11 · x. Možemo zato takođe napisati: O = 2a + 2b.

Površina je dužina pomnožena širinom. U algebarskim simbolima dobijamo: P = a · b, odnosno: P = ab.

Napomena: Samo 2a + 2b je primer izraza sa promenljivom; O = 2a + 2b je primer jednačine. Glavna razlika između izraza i jednačine je prisustvo znaka jednakosti (=).

U gornjem primeru, našli smo najjednostavnije načine da izrazimo obim i površinu pravougaonika kada još ne znamo kolike su širina i dužina. Sada, kada se sretnemo sa pravougaonikom čije dimenzije znamo, možemo prosto zameniti (ili ubaciti) te vrednosti u gornju jednačinu. U okviru ove teme, srešćemo se sa mnogim izrazima koje možemo izračunati ubacivanjem brojeva umesto promenljivih koje se koriste.

Izračunavanje algebarskih izraza

Kada nam je dat algebarski izraz, jedna od najčešćih stvari koje treba da uradimo s njim je da ga izračunamo za neke date vrednosti promenljivih. Sledeći primer ilustruje taj proces.

Primer 2: Neka je x = 12. Nađite vrednost od 2x – 7.

Rešenje: Da bismo našli rešenje, zamenićemo 12 umesto x u datom izrazu. Svaki put kad ugledamo x, zamenićemo ga sa 12.

 2x – 7 = 2 · 12 – 7 = 24 – 7 = 17

Napomena: U određenoj fazi problema, pre zamenjene vrednosti stavili smo znak množenja. Ovo radimo da bi napisani problemi bili lakši za praćenje i da bi izbegli greške. (Da nismo stavili znak množenja, zamenili bismo  sa 212 umesto sa 2 puta 12!)

Primer 3: Neka je y = -2. Nađite vrednost od .

Rešenje:

Mnogi izrazi imaju više od jedne promenljive u sebi. Na primer, formula za obim pravougaonika u uvodu ima dve promenljive: dužinu (a) i širinu (b). U ovim slučajevima, pazite da zamenite odgovarajuću vrednost na odgovarajućem mestu.

Primer 4: Površina trapeza je data jednačinom . Nađite površinu trapeza sa osnovicama a = 10cm i b = 15cm i visinom h = 8cm.

Rešenje: Da bismo našli rešenje ovog problema, prosto ćemo uzeti vrednosti date za promenljive a, b i h, i zameniti ih u izraz za P:

Zamenite 10 umesto a, 15 umesto b i 8 umesto h.

   Izračunajte, ne zaboravite da prvo skratite 8 i 2.

P = 25 · 4 = 100.

Površina trapeza je 100 kvadratnih centimetara.

Izračunavanje algebarskih izraza sa stepenima

Mnoge formule i jednačine u matematici sadrže stepene. Stepeni se koriste kao skraćen zapis za ponovljeno množenje. Na primer:

2 · 2 = 22

2 · 2 · 2 = 23

Eksponent stepena pokazuje koliko puta se broj koristi kao činilac (pomnožen). Kada radimo sa celim brojevima, obično je najlakše uprostiti izraz. Uprošćavamo:

22 = 4

23 = 8

Međutim, stepeni su nam potrebni kada radimo sa promenljivim, jer je mnogo lakše napisati x8 nego x · x · x · x · x · x · x · x.

Da bi izračunali izraze sa stepenima, zamenjujemo vrednosti koje su nam date za svaku promenljivu.

Primer 5: Površina kruga je data formulom P = r2π. Nađite površinu kruga poluprečnika r = 17cm.

Rešenje: Zamenite vrednosti u jednačinu.

P = r2π          Zamenite 17 umesto r.

P = 172π ≈ 907,9202…          Zaokružite na 2 decimale.

Površina je približno 907,92 kvadratna centimetra.

Primer 6: Nađite vrednost od , za x = 2 i y = -4.

Rešenje: Zamenite 2 umesto x i –4 umesto y u izraz.

Izračunajte izraze.

Primer 7: Visina (h) lopte u letu je data formulom h = -32t2 + 60t + 20, gde je visina data u metrima i vreme (t) je dato u sekundama. Nađite visinu lopte u trenutku t = 2 sekunde.

Rešenje: Zamenite 2 umesto t.

h = -32 · 22 + 60 · 2 + 20 = -32 · 4 + 120 + 20 = -128 + 140 = 12

Visina lopte je 12 metara.

Ostavite komentar »

Nema komentara.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: