On-line učionica

15. decembar 2012.

Obim i površina pravilnog mnogougla

Filed under: III razred,Matematika — jelena100janovic @ 6:24 pm

Obim pravilnog mnogougla

Setite se kako je pravilan mnogougao mnogougao sa svim podudarnim stranicama i uglovima. Sada ćemo se baviti samo sa prailnim mnogouglovima, jer su oni jedini za koje možemo izvesti formulu za obim i površinu. Prvo ćemo se baviti obimom.

Setite se kako je obim kvadrata četiri puta dužina stranice jer su sve međusobno podudarne. Možemo proširiti ovaj koncept na proizvoljan pravilni mnogougao.

Obim pravilnog mnogougla: Ako je dužina stranice a i pravilni mnogougao je n-tougao, onda je obim:

Formula792

Primer 1: Koliki je obim pravilnog osmougla sa stranicama od 4 cm?

Slika268

Rešenje: Ako je svaka stranica 4 cm i imamo 8 stranica, to znači da je obim:

Formula793

Primer 2: Obim pravilnog sedmougla je 35 cm. Kolika je dužina svake od stranica?

Rešenje: Ako je

Formula792

onda je

Formula794

Zato je dužina stranice 5 cm.

Površina pravilnog mnogougla

Da bismo našli površinu pravilnog mnogougla, trebalo bi da ponovimo neke pojmove. Prvo, svi pravilni mnogouglovi se mogu upisati u krug. Dakle, pravilni mnogouglovi imaju centar i poluprečnik, koji su u stvari centar i poluprečnik njemu opisane kružnice. Takođe kao i krug, pravilni mnogougao će imati centralni ugao. U pravilnom mnogouglu, centralni ugao je ugao koji formiraju dva poluprečnika povučena do dva susedna temena mnogougla. Na slici ispod, primetite kako je trougao koji formiraju ta dva poluprečnika jednakokraki. Svaki pravilni n-tougao se sastoji od n jednakokrakih trouglova. U pravilnom šestouglu, ti trouglovi su jednakostranični. Visine ovih jednakokrakih trouglova su poluprečnici upisanog kruga u mnogougao.

Slika269

Poluprečnik upisanog kruga: Duž povučena od centra pravilnog mnogougla do središta jedne od njegovih stranica.

Pravilnije bi bilo da smo rekli da je poluprečnik upisanog kruga normala iz centra na stranicu. Međutim, u jednakokrakom trouglu je visina ujedno i simetrala naspramne stranice. Zato nismo napravili grešku u opisu.

Primer 3: Nađimo dužinu poluprečnika upisanog kruga u pravilnom osmouglu stranice dužine 12. Rezultat prikažimo približno na dve decimale.

Slika270

Rešenje: Da bi našli poluprečnik upisane kružnice, trebaće nam trigonometrijske funkcije. Prvo ćemo naći veličinu centarlnog ugla. Pun krug ima 360°, pa je:

Formula795

Sada to možemo iskoristiti da bi našli ostala dva ugla u jednakokrakom trouglu. Oni su jednaki jer su dva mala pravougla trougla podudarna.

Formula796

Da bi našli poluprečnik upisane kružnice, trebaće nam tangens. Možemo koristiti bilo koji od dva oštra ugla.

Slika271

Formula797

Ovaj rezultat možemo koristiti za računanje površine pravilnog mnogougla. Hajde da nastavimo sa istim primerom.

Primer 4: Nađimo površinu prvilnog osmougla iz prethodnog primera.

Slika272

Rešenje: Osmougao se može podeliti na 8 podudarnih trouglova. Dakle, ako nađemo površinu jednog trougla i pomnožimo je sa 8, imaćemo površinu celog osmougla.

Formula798

Iz prethodna dva primera, možemo izvesti jednu od formula za površinu pravilnog mnogougla.

Površina svakog od trouglova je:

Formula799

Ako mnogougao ima n stranica, onda se sastoji od n podudarnih trouglova.

Površina pravilnog n-tougla: Ako je stranica pravilnog n-tougla dužine a, a poluprečnik upisanog kruga ru, onda je:

Formula800

Primer 5: Nađimo površinu pravilnog petougla sa poluprečnikom opisane kružnice 4.

Slika273

Rešenje: U ovom zadatku ćemo koristiti formulu za površinu trougla u kojoj figurišu dve susedne stranice i njima zahvaćen ugao. Centralni ugao pravilnog petougla je:

Formula801

Trebaće nam sinus tog ugla.

Slika274

Sada možemo naći površinu petougla:

Formula802

About these ads

1 komentar »

  1. Izvesni gospodin Paja je primetio grešku u drugom primeru. Greška je ispravljena i ja mu se ovom prilikom zahvaljujem.

    Komentar od jelena100janovic — 27. januar 2013. @ 9:02 pm | Odgovor


RSS dovod za komentare na ovaj članak. TrackBack URI

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s

The Rubric Theme. Blog na WordPress.com.

Prati

Dobijte svaki novi članak dostavljen u vaše poštansko sanduče.

Pridružite se 79 drugih pratioca

%d bloggers like this: